數學與統計工具（分數、幾何、方程、機率）

數學與統計

• 機率模擬器——硬幣、骰子、輪盤（理論與實測，對照並含步驟）
  使用固定種子的 LCG 重現硬幣、加權骰子和歐/美輪盤，即時呈現理論機率與實測比率、Wilson 95% 區間、收斂圖、期望值、CSV/LaTeX 匯出以及 計算過程步驟。
• 3D幾何計算器（球體、圓柱、圓錐、稜柱）
  同時計算球體、圓柱、圓錐、長方體以及正多稜柱的體積與表面積，適合建築、製造、教學與實驗場景快速估算。 請使用相同的單位輸入所有尺寸，體積會以立方單位輸出，表面積以平方單位輸出。 會。所有資料都會寫入查詢字串，對方開啟連結即可重現設定。 無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 一階常微分方程（可分離/一次線性）+ 方向場——含步驟
  視覺化一階可分離與一次線性微分方程，提供方向場、Simpson 積分、積分因子、數值反演、RK4 校驗、CSV 匯出和可分享連結。 在同一介面求解可分離與一次線性的一階微分方程：方向場、解曲線、Simpson 積分、積分因子、數值反演、RK4 校驗、CSV 匯出與可分享連結一應俱全。 我們在 x、y 的均勻網格上評估斜率，裁剪掉過大斜率後繪製短線段，使方向場保持清晰，並透過 RK4 校驗主解曲線的
• 二維幾何計算器（矩形、圓形、三角形、梯形、正多邊形的面積與周長）
  選擇常見平面圖形並填寫尺寸，即可計算面積與周長。 目前支援矩形、圓形、三角形、梯形和正多邊形。對於正多邊形，需要提供邊數以及邊長、外接半徑或內接半徑中的至少一項。 無需轉換單位，只要輸入時保持一致，結果自然與輸入單位相匹配。 點選“複製結果連結”即可獲得帶參連結，用於收藏或分享。
• 三角形求解器（SSS / SAS / ASA，面積與外接圓半徑）
  選擇已知的三角形引數（如三邊、兩邊加夾角、或兩個角加夾邊），即可自動計算剩餘的邊長、角度、面積、周長以及外接圓與內接圓半徑。 提供 SSS、SAS、ASA 三種確定的組合；不支援存在二義性的 SSA 情況。 先利用海倫公式求面積 S ，隨後透過 R = abc / (4S) 和 r = S / s （ s 為半周長）得到外接圓與內接圓半徑。
• 三角求解器 — 正弦/餘弦定律（SSA 不明確）｜CalcBE
  使用 SSS、SAS、ASA/AAS 與不明確的 SSA 情況求解三角形，輸入邊長/角度即可算出其餘未知量、周長與面積。提供分步公式、角度/弧度切換、捨入設定與註解圖形，並支援分享連結，適合學習與檢算（瀏覽器內免費）。
• 小數除法怎麼做 | 一步一步移動小數點 | CalcBE
  用簡短清楚的步驟學會小數除法。先看為什麼兩個小數點要一起移動、怎麼把除數變成整數，再繼續做一般的直式除法。
• 不等式求解器（單變數/二元）— 含步驟與圖示
  一步到位解出一次、雙側、絕對值、二次及有理不等式，並可視覺化半平面或不等式組。自動記錄推導步驟，支援複製 LaTeX 與分享連結，方便課堂講解與自學複盤。 涵蓋一次、雙側、絕對值、二次及有理不等式，並能將半平面及線性不等式組用多邊形填充展示。所有推導步驟會記錄在右側，方便課堂講解或自學檢查，同時支援 LaTeX 複製與連結分享。
• 分佈工具包計算器——二項、泊松、t、卡方（含步驟顯示）
  針對二項、泊松、t、卡方分佈，計算 PMF/PDF、CDF、分位點和精確置信區間，並提供圖形、CSV、LaTeX 與分享連結，附帶計算過程步驟。
• 分數計算機（約分／帶分數／最小公分母）｜CalcBE
  輸入帶分數或假分數，計算分數加減乘除並自動約分；同時顯示帶分數與小數近似。支援分享連結。
• 比、比例與百分比求解器（含步驟）
  逐步處理比值約分、比例式求解、按比例分配、百分比變化與比例尺換算，支援教師模式、分享連結與 LaTeX 匯出。
• 主題和集合 | CalcBE
  瀏覽 CalcBE 主題集合以快速找到合適的計算器或工具（隨機抽獎、PDF、貸款、稅收等）。
• 代數練習紙產生器
  為一次方程、二次方程、因式分解、分數和比例建立可列印的代數練習紙，附答案、可選步驟、CSV 匯出與列印友好的 PDF。
• 加權隨機抽取｜依權重（機率比）抽取｜CalcBE
  依權重（機率比）從清單中隨機抽取專案。支援有放回/無放回、種子重現、複製結果與分享連結；全程在瀏覽器本機執行，不會上傳資料。
• 可驗證隨機抽籤（commit-reveal）｜可稽核抽取器｜CalcBE
  用 commit-reveal 方案進行可驗證的隨機抽籤。先發布承諾雜湊（commit），抽籤後公開種子（seed），任何人都能重現並驗證結果。全程在瀏覽器本機執行。
• 平方根簡化：因數樹與步驟 | CalcBE
  將 √n 簡化為 a√b，顯示因數樹、平方配對與步驟，並可用平方夾逼呈現小數近似。支援範例、LaTeX 複製與 SVG 匯出。 將 √n 分解並配對平方，讓成對因子移出根號得到 a√b，同時用圖形呈現。 同一因子出現兩次就是 p²，且 √(p²)=p。成對的因子移到根號外，單個的留在根號內。 若所有因子成對，根號內為 1，√144 會直接變成 12，不再有根號。
• 平均與標準差計算機（母體 vs 樣本）
  貼上或輸入資料集，計算筆數、平均、變異數與標準差（母體 N / 樣本 N-1）。可複製分享連結。 貼上或輸入資料集，計算母體（N）與樣本（N-1）的統計量。 無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。 支援複製 URL，方便收藏或分享。 支援一鍵複製結果。
• 向量計算機（內積/外積/投影/角度/面積/三重積）
  計算 2D/3D 向量的範數、內積、外積、投影、角度、平行四邊形/三角形面積與三重積。含步驟、2D 圖、分享連結與 CSV/LaTeX。 支援 2D/3D，顯示運算步驟與 2D 圖。可分享、CSV 與 LaTeX。 無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 投資與財富累積（NISA/SIP/複合/退休）| CalcBE
  比較 NISA、SIP、複合成長、退休和儲蓄目標的長期投資方案。儲存並與 URL 分享假設。
• 求導計算器（步驟、切線、數值求導）
  支援單變數、偏導、隱函數與引數式的求導計算器。即時展示符號求導與中心差分＋Richardson 外推的數值求導，附帶切線方程與完整步驟，適合教學與自學。 可同時輸出符號求導與數值求導，並保留「計算過程」步驟日誌。支援 n 階導數、偏導、隱函數求導及引數方程，附帶切線方程，方便教學演示與自學練習。
• 函數變換探索器（平移、縮放、對稱）
  透過滑塊操作 a、b、h、v，探索 y = a·f(b(x−h)) + v 對一次、二次、絕對值、根式、指數、對數、正弦、餘弦等函數族的影響。同屏顯示原函數與變換後函數、漸近線，並在 計算過程 中檢視詳細步驟。
• 帕斯卡三角與二項展開計算器（含步驟） | CalcBE
  用 BigInt 精確生成帕斯卡三角各行、組合數 C(n,k) 和 (ax+by)^n 展開，並顯示計算過程、CSV 匯出與分享連結。
• 房地產（抵押/攤銷/負擔能力）| CalcBE
  一起估算抵押貸款付款、攤還時間表和負擔能力 (DTI)。比較假設並透過 URL 儲存結果。
• 抽樣與自助法——中心極限定理演示（含步驟） | CalcBE
  使用固定種子的線性同餘法生成均勻、常態、指數與伯努利樣本，計算均值/中位數/比率、自助法百分位區間與 t/常態區間，並結合「計算過程」與 CLT 直方圖理解中心極限定理，支援分享連結與 CSV 匯出。
• 直式小數乘法｜一步步理解小數點位置｜CalcBE
  這一頁會先把小數乘法當成整數乘法計算，再一步步說明小數點要放回哪裡。
• 直式小數除法｜一步步理解小數點右移｜CalcBE
  這一頁會一步步說明小數除法裡的小數點右移、變形後的算式，以及後續直式除法。
• 直式加減法｜一步步理解進位與退位｜CalcBE
  這一頁會把直式加減法、位值對齊、進位與退位分成每一步來說明。
• 直式計算學習中心｜加減乘除與小數｜CalcBE
  把加法、減法、乘法、除法與小數直式計算的學習順序整理在同一頁，方便按步驟往下學。
• 直式乘法怎麼做｜給學習者的步驟整理｜CalcBE
  用簡短、好懂的方式學直式乘法。看看要從哪裡開始、為什麼十位那一列要往左移，以及最後什麼時候把各列加起來。
• 直式整數乘法｜一步步理解進位、部分積與最後加總｜CalcBE
  這一頁會把整數直式乘法拆成部分積、位移與最後加總，一步步帶著看。
• 長除法計算器（含步驟） | CalcBE
  用這一頁學整數長除法，逐步查看商、餘數與筆算排版。只有需要再延伸少量小數位時才提高設定。
• 信賴區間與假設檢定向導（平均數/比例）| CalcBE
  一步完成平均數與比例的信賴區間與假設檢定，提供 p 值視覺化、公式步驟與可分享連結。
• 科學計算機（三角函數／對數／角度模式）
  支援三角函數、對數、指數與階乘，提供角度模式（度/弧度）、鍵盤輸入、記憶與可分享網址。 提供 Deg/Rad 模式、鍵盤輸入與分享連結。 使用顯示下方的 Deg/Rad 開關；分享連結時會保留選擇。 例如負數開方、除以 0 或 log 非正數會報錯。請調整表示式後重試。
• 泰勒/麥克勞林多項式——含步驟與對比圖
  透過符號求導生成 x=a 處的 P_n(x)，必要時用最小二乘擬合補足係數。工具將 f 與 P_n 繪製在同一畫布，提供誤差概覽、步驟記錄、LaTeX、CSV 以及可分享的連結，適合課堂講解。
• 特徵值與特徵向量 (2x2, 3x3) - 含步驟
  支援 2x2 與 3x3 矩陣的特徵值、特徵向量、殘差與重數分析，涵蓋解析解、有理根搜尋與 QR 迭代。 一步到位呈現特性多項式、有理根檢驗、QR 迭代、特徵向量與殘差，方便課堂示範與自學複盤。 按 Alt+S 複製帶引數的分享連結；按 Alt+L 複製特性多項式的 LaTeX 片段，方便插入講義或作業。
• 真值表與邏輯表示式化簡（DNF/CNF）| CalcBE
  輸入布林表示式即可產生真值表與標準 DNF/CNF，並支援化簡、CSV 匯出與分享連結。
• 矩陣計算器 — RREF / 解 Ax=b / 逆矩陣 / 行列式（含步驟）
  支援 RREF、解 Ax=b、求逆矩陣、行列式與秩，展示零空間、行空間和列空間的手動步驟。Exact 分數模式與 Decimal 小數模式均帶有分享連結和 LaTeX 匯出。
• 紙張和模板：方格紙、筆記、工作表 | CalcBE
  可打印的紙張模板：方格紙、筆記、工作表和計劃表。生成精確的 SVG 並打印到 PDF — 在瀏覽器中本地運行。
• 密碼產生器｜安全隨機密碼｜CalcBE
  在瀏覽器裡用 crypto.getRandomValues 產生安全隨機密碼。可排除易混淆字元、滿足規則、複製/下載。分享連結只包含設定（不含密碼）。
• 常態分配計算機 — PDF/CDF/分位數與 Z 分數
  輸入平均與標準差，計算 PDF、CDF（單尾/雙尾）、分位數、區間機率與 Z 分數。含步驟、著色常態曲線、分享連結與教師註記。 無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。 支援一鍵複製結果。 輸入數值即可立即計算並檢視結果。 適合學習檢查、作業核對與日常換算。
• 排列與組合計算器（nPr, nCr）— 顯示步驟
  計算排列nPr、組合nCr、階乘n!。提供BigInt精確值、科學計數法近似、步驟日誌、教師模式及可分享連結，適合課堂示範與自學。 輸入n和r即可同時得到排列、組合與階乘的精確值及近似值，並檢視逐步乘除過程、教師提示以及可複製的分享連結。 排列區分順序，例如AB與BA視為兩種情況；組合不區分順序，AB與BA只算一次。
• 部分分式分解工具（含步驟）
  把有理函數 P(x)/Q(x) 拆成商 H(x) 和部分分式，展示長除法、Durand-Kerner 因式分解、線性方程求解以及殘差校驗，還提供 LaTeX、CSV 與可分享的連結。
• 最大公因數與最小公倍數線上計算機（整數列表）｜CalcBE
  一次輸入最多 32 個整數，就能同時計算最大公因數（GCD）與最小公倍數（LCM），並顯示步驟. 支援貼上數列、複製結果連結，方便教學與作業檢查。 以逗號或空白分隔，一次最多 32 個整數。 無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。 輸入數值即可立即計算並檢視結果。 適合學習檢查、作業核對與日常換算。
• 最大公約數與最小公倍數（含步驟）— 擴充套件歐幾裡得與梯式除法
  以梯式除法（連續除法）與 a = q·b + r 日誌追蹤最多 64 個整數的 GCD/LCM，並檢視擴充套件歐幾裡得的回代步驟與課堂提示，可複製 LaTeX、步驟與分享網址。
• 單位圓與三角函數探索（振幅／週期／相位）
  互動探索 y = A*f(bx+φ)+D（sin/cos/tan）。同步單位圓與圖形、檢視振幅/週期/相位、CSV 匯出、LaTeX 複製與分享連結。 同步單位圓與圖形，檢視振幅/週期/相位；支援 CSV/LaTeX/分享。 無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 幾何和圖形工具：三角形、矢量、2D/3D | CalcBE
  三角形、向量、2D/3D 幾何與圖形工具（方格紙、數軸等）。免費、免註冊，免安裝，瀏覽器內運行，支援手機。適合學習與作業。
• 描述統計 + 箱線圖與直方圖（含步驟）
  貼上資料或上傳 CSV/TSV，檢視描述統計、直方圖、箱線圖、異常值數量、截尾均值、CSV 與 LaTeX 匯出，並保留完整的計算步驟說明。 貼上課堂資料或上傳 CSV/TSV，即可生成描述統計、箱線圖、直方圖、異常值統計、截尾均值、CSV/LaTeX 匯出，並保留完整的計算步驟以便課堂展示。 會自動識別分隔符和小數點符號，刪除千位分隔符，解析為數字並剔除無效條目，同時在步驟中記錄剔除的數量。
• 稅務計算器：增值稅、商品及服務稅、所得稅、淨額 ↔ 總額 | CalcBE
  適用於增值稅/商品及服務稅、淨↔總換算和所得稅的快速稅務計算器。僅限瀏覽器，無需註冊。 增值稅/商品及服務稅、淨↔總轉化以及快速稅收計算。

相關專題

• 統計與機率
• 幾何
• 學習

常見問題