數學與統計工具（分數、幾何、方程、機率）

數學與統計

• 圓周率近似探索器 | 多邊形、級數、蒙特卡洛 | CalcBE
  用多邊形、Gregory 級數、Nilakantha 級數和蒙特卡洛法比較圓周率近似過程，並查看誤差、圖表、範例與分享 URL。
• 圓周率演算法競速 | 比較收斂速度 | CalcBE
  把 Gregory、Nilakantha、Machin-like 和 Chudnovsky 放到固定時間或固定位數條件下比較，並查看圖表、CSV 與分享 URL。
• 圓周率數字產生器 | 產生前 n 位 | CalcBE
  用基于 Chudnovsky 的瀏覽器工具產生圓周率前 n 位。支援精確位數模式、時間挑战、複製文本、儲存 TXT 與分享連結。
• Pi 數字實驗室 | 在圓周率前 n 位中搜尋與跳轉 | CalcBE
  在圓周率前 n 位中搜尋數字序列、跳到指定位置、按塊移動，並複製所選範圍。適合在精確前綴中快速定位、檢查並提取真正需要的那一段數字。
• 機率模擬器——硬幣、骰子、輪盤（理論與實測，對照並含步驟）
  使用固定種子的 LCG 重現硬幣、加權骰子和歐/美輪盤，即時呈現理論機率與實測比率、Wilson 95% 區間、收斂圖、期望值、CSV/LaTeX 匯出以及 計算步驟 步驟。
• 3D 幾何計算器（球體、圓柱、圓錐、稜柱）
  同時計算球體、圓柱、圓錐、長方體以及正多角柱的體積與表面積，適合建築、製造、教學和實驗場景快速估算。請使用相同的單位輸入所有尺寸，體積會以立方單位輸出，表面積以平方單位輸出。會，所有資料都會寫入查詢字串，對方開啟連結即可重現設定。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 一次方程式求解器（等式兩邊同步操作） | CalcBE
  用等式兩邊做相同操作的方式解一次方程式。支援分數、括號、小數、清除分母、驗算、分享 URL、LaTeX 與 SVG。
• 一階常微分方程（可分離/一次線性）+ 方向場——含步驟
  可視化一階可分離與一次線性微分方程，提供方向場、Simpson 積分、積分因子、數值反演、RK4 校驗、CSV 匯出和可分享連結。在同一介面求解可分離與一次線性的一階微分方程：方向場、解曲線、Simpson 積分、積分因子、數值反演、RK4 校驗、CSV 匯出與可分享連結一應俱全。
• 二項檢定計算器｜一組比例的精確 p 值｜CalcBE
  輸入成功次數、試行次數與虛無假設比例，計算二項檢定精確 p 值，支援雙尾與單尾，並顯示假設、方向、累積機率與解讀提示。
• 二維幾何計算器（矩形、圓形、三角形、梯形、正多邊形的面積與周長）
  選擇常見平面圖形並填寫尺寸，即可計算面積與周長。目前支援矩形、圓形、三角形、梯形和正多邊形。對於正多邊形，需要提供邊數以及邊長、外接半徑或內接半徑中的至少一項。毋須轉換單位，只要輸入時保持一致，結果自然與輸入單位相匹配。點擊「複製結果連結」即可取得帶參數連結，用於收藏或分享。
• 三角分佈產生器（最小值/眾數/最大值） | CalcBE
  用最小值、眾數與最大值從三角分佈產生隨機數樣本，並查看直方圖與 PDF。全程在瀏覽器本機執行；可分享只含設定的 URL。
• 三角形求解器（SSS / SAS / ASA，面積與外接圓半徑）
  選擇已知的三角形參數（如三邊、兩邊加夾角、或兩個角加夾邊），即可自動計算剩餘的邊長、角度、面積、周長以及外接圓與內接圓半徑。提供 SSS、SAS、ASA 三種確定的組合；不支援存在二義性的 SSA 情況。先利用海倫公式求面積 S ，隨後透過 R = abc / (4S) 和 r = S / s （ s 為半周長）得到外接圓與內接圓半徑。
• 三角形求解器（SSS/SAS/ASA/SSA）｜CalcBE
  輸入已知邊角，快速求出其餘邊角、面積與內外接圓半徑。支援三邊（SSS）、兩邊夾角（SAS）、兩角一邊（ASA/AAS）與 SSA 二解判定。
• 不等式求解器（單變量/二元）— 含步驟與圖示
  一步到位解出一次、雙側、絕對值、二次及有理不等式，並可視化半平面或不等式組。自動紀錄推導步驟，支援複製 LaTeX 與分享連結，便於課堂講解與自學複盤。涵蓋一次、雙側、絕對值、二次及有理不等式，並能將半平面及線性不等式組用多邊形填充展示。所有推導步驟會紀錄在右側，方便課堂講解或自學檢查，同時支援 LaTeX 複製與連結分享。
• 分布計算器（二項、泊松、t、卡方）| CalcBE
  計算二項、泊松、t 與卡方分布的 PMF/PDF、CDF、分位點與精確區間，並查看圖形、步驟、CSV、LaTeX 與分享連結。
• 分組資料的直方圖和累積頻率 | CalcBE
  輸入分組資料或原始資料，建立衍生頻率表、直方圖與累積頻率圖。可偵測不等寬組距、標示眾數/中位數組，並匯出 CSV/SVG。
• 分數計算器（約分／帶分數／最小公分母）
  直接輸入帶分數或假分數，進行加減乘除，並同時顯示約分後、帶分數與小數近似。可複製分享連結。支援輸入帶分數與假分數，並同時顯示多種表示方式。免安裝、可直接在瀏覽器使用，並支援複製結果與分享連結。
• 勾股定理計算器｜直角三角形圖解與面積模型｜CalcBE
  用直角三角形圖與三個正方形面積模型可視化 a²+b²=c²。可求任意一邊、判斷直角三角形、計算两點距離；支援根號精確值、步驟、分享連結、LaTeX 與 SVG。
• 反比例 y=k/x 探索者 | 符號與 k | CalcBE
  探索反比例 y=k/x，其中 xy=k 保持不變。同步方程、表格和圖形、按符號突出顯示象限、顯示漸近線、追蹤器、表格一致性檢查、可分享 URL、SVG/CSV 匯出和教師模式。
• 比、比例與百分比求解器（含步驟）
  逐步處理比值約分、比例式求解、按比例分配、百分比變化與比例尺換算，支援教師模式、分享連結、練習檢查與 LaTeX 匯出。
• 主題和集合 | CalcBE
  用主題方式瀏覽 CalcBE，快速找到金融、學習、文件、單位換算、健康、統計、機率、PDF、日期時間和生活常用工具。
• 代數練習紙產生器｜可列印題目、答案與 CSV | CalcBE
  建立可列印的代數練習紙，涵蓋一次方程、二次方程、因式分解、分數和比例，附答案、可選步驟、CSV 匯出和 PDF 列印。
• 加權隨機抽取｜按權重（機率比）抽取｜CalcBE
  按權重（機率比）從清單隨機抽取項目。支援有放回/無放回、種子重現、複製結果與分享連結；全程在瀏覽器內本機執行，不會上傳資料。
• 卡方檢定計算器 |擬合優度與獨立性 | CalcBE
  根據觀察計數執行卡方適合度或獨立性檢定，查看預期計數、各格貢獻、p 值、自由度、警告與 Cramer V 統計摘要和複製結果。
• 卡塔蘭數探索器｜戴克路徑與樹 | CalcBE
  使用精確的 BigInt 或模表探索加泰羅尼亞數字 C_n，然後枚舉或統一採樣 戴克 單詞、戴克 路徑和完整二叉樹。匯出 CSV 或與種子共享 URL 以獲取可重現的範例。
• 可重複排列與組合計算器（n^r, 重複組合）— 顯示步驟｜CalcBE
  計算可重複排列 n^r 與可重複組合 nHr = C(n+r-1,r)。支援 Exact（BigInt 精確值）與 Approx（科學計數法近似），並提供步驟日誌、教師模式與可分享 URL。所有計算在瀏覽器本地完成，不上傳資料。
• 可驗證隨機抽籤（commit-reveal）｜可稽核抽取器｜CalcBE
  用 commit-reveal 方案進行可驗證的隨機抽籤。先發布承諾雜湊（commit），抽籤後公開種子（seed），任何人都能重現並驗證結果。全程在瀏覽器本機執行。
• 平方根簡化：因數樹與步驟 | CalcBE
  將 √n 簡化為 a√b，顯示因數樹、平方配對與步驟，並可用平方夾逼呈現小數近似。支援範例、LaTeX 複製與 SVG 匯出。將 √n 分解並配對平方，讓成對因子移出根號得到 a√b，同時用圖形呈現。同一因子出現兩次就是 p²，且 √(p²)=p。成對的因子移到根號外，單個的留在根號內。若所有因子成對，根號內為 1，√144 會直接變成 12，不再有根號。
• 平均與標準差計算器（母體 vs 樣本）
  貼上或輸入數據集，計算筆數、平均、變異數與標準差（母體 N / 樣本 N-1）。可複製分享連結。貼上或輸入數據集，計算母體（N）與樣本（N-1）的統計量。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。支援複製 URL，方便收藏或分享。支援一鍵複製結果。
• 平衡正確率計算器 | 召回率與特異度 | CalcBE
  從 TP、FP、TN、FN 計算平衡正確率、召回率、特異度、精確率與正確率，適合不平衡分類結果的初步檢查與報告摘要。
• 弗裏德曼測試計算器 |配對基於排名的 3+ 組 p 值 ｜CalcBE
  對 3 個或更多配對組執行弗裏德曼檢定。查看基於排名的 Q 統計量、卡方 p 值、平局校正、Kendall W 和每組排名摘要。
• 打印 DPI 計算器 |打印相片的有效 PPI | CalcBE
  根據影像像素估計列印尺寸的有效 PPI，在調整大小、裁切或下單打印前比較水平、垂直和目標 PPI，並查看尺寸建議和品質提示。
• 正負數軸計算器與符號規則 | CalcBE
  用數軸動畫理解正負數的加減法，用符號表檢查乘法和除法。支援步驟說明、結果/LaTeX 複製、SVG 下載和分享連結。
• 生日悖論計算器（同生日機率） | CalcBE
  輸入人數與一年天數，估算至少一組同一天生日的機率。用圖表與逐步說明理解生日悖論，適合課堂示範、範例檢查、分享與討論。
• 皮爾森／斯皮爾曼相關係數計算器 | CalcBE
  貼上 XY 成對資料，計算 Pearson 或 Spearman 相關係數、雙尾 p 值、R²，並查看清楚的散佈圖。
• 合成時間序列產生器｜趨勢與季節性｜CalcBE
  產生含趨勢、季節性、雜訊、缺漏值與離群值的合成時間序列資料。在瀏覽器本機執行，不會上載；分享連結只包含設定，適合測試圖表與監控。
• 同類項上色的代數化簡器 | CalcBE
  透過分布進行擴展，對類似術語進行顏色匹配，並逐步簡化。在瀏覽器中查看符號翻轉、教師模式、可分享 URL、LaTeX 複製和 SVG 匯出。
• 向量計算器（內積/外積/投影/角度/面積/三重積）
  計算 2D/3D 向量的範數、內積、外積、投影、角度、平行四邊形/三角形面積與三重積。含步驟、2D 圖、分享連結與 CSV/LaTeX。支援 2D/3D，顯示運算步驟與 2D 圖。可分享、CSV 與 LaTeX。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 多集排列和字谜計數計算器 | CalcBE
  使用多項系數計算具有重複字符的字符串的不同排列。顯示 BigInt 的精確結果、位數、科學計數法、步驟、隨機範例（小 n）和可共享 URL。
• 克魯斯卡爾-瓦利斯檢定計算器｜3 組以上秩次 p 值 ｜CalcBE
  對 3 個或更多獨立組進行 克魯斯卡爾-瓦利斯檢定 檢定。查看以秩次為基礎的 H 統計量、卡方 p 值、平局校正和每組排名摘要。
• 求導計算器（步驟、切線、數值求導）
  支援單變量、偏导、隱函數與參數式的求導計算器。即時展示符號求導與中心差分＋Richardson 外推的數值求導，附帶切線方程與完整步驟，適合教学與自學。可同时輸出符號求導與數值求導，並保留「計算過程」步驟日誌。支援 n 阶導數、偏导、隱函數求導及參數方程，附帶切線方程，便於教学演示與自學練習。
• 狄利克雷分佈產生器與視覺化 | CalcBE
  從 Dirichlet 分佈產生機率向量，並視覺化邊際分佈與 simplex 圖。全程在瀏覽器本機執行；可分享只含設定的 URL。
• 貝塔分佈產生器與視覺化 | CalcBE
  從 Beta 分佈產生 0 到 1 之間的比例或機率樣本，查看 PDF 曲線、直方圖、摘要統計與只含設定的分享 URL。
• 貝葉斯定理計算器 |先驗、後驗與貝葉斯因子 ｜CalcBE
  用貝葉斯定理更新先驗機率，可輸入診斷結果的敏感度、特異度，或一般事件的直接條件機率，並整理後驗機率、公式步驟與解讀提示。
• 貝爾數表與斯特林關係| CalcBE
  產生貝爾數表 B(n) 並確認關係 B(n)=ΣS(n,k)。包括精確 BigInt 或模模式、CSV/TSV 匯出、Stirling 選項卡和可共享 URL。
• 具有圖形視圖的聯立方程求解器 | CalcBE
  使用消除、替換和圖形視圖求解聯立線性方程。分數和小數標準化，無解或無限解分類，你可以複製可分享的 URL、LaTeX，並儲存 SVG 圖形。
• 函數變換探索器（平移、縮放、對稱）
  透過滑桿操作 a、b、h、v，探索 y = a·f(b(x−h)) + v 對一次、二次、絕對值、根式、指數、對數、正弦、餘弦等函數族的影響。同屏顯示原函數與變換後函數、漸近線，並在 計算步驟 中查看詳細步驟。
• 帕斯卡三角與二項展開計算器（含步驟） | CalcBE
  用 BigInt 精確生成帕斯卡三角各行、組合數 C(n,k) 和 (ax+by)^n 展開，並顯示計算過程、CSV 匯出與分享連結。

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