數學與統計工具（分數、幾何、方程、機率）

數學與統計

• 機率模擬器——硬币、骰子、轮盘（理论與实测，对照並含步驟）
  使用固定种子的 LCG 重现硬币、加权骰子和欧/美轮盘，实时呈现理论機率與实测比率、Wilson 95% 区间、收敛圖、期望值、CSV/LaTeX 匯出以及 計算步驟 步驟。
• 3D几何計算器（球体、圓柱、圓錐、棱柱）
  同時计算球体、圓柱、圓錐、長方體以及正多棱柱的體積與表面積，適合建筑、制造、教学和實驗场景快速估算。請使用相同的單位輸入所有尺寸，體積会以立方單位輸出，表面積以平方單位輸出。会，所有資料都会写入查詢字串，对方打开連結即可複现設定。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 一阶常微分方程（可分离/一次線性）+ 方向场——含步驟
  可視化一阶可分离與一次線性微分方程，提供方向场、Simpson 積分、積分因子、数值反演、RK4 校验、CSV 匯出和可分享連結。在同一界面求解可分离與一次線性的一阶微分方程：方向场、解曲线、Simpson 積分、積分因子、数值反演、RK4 校验、CSV 匯出與可分享連結一应俱全。
• 二維几何計算器（矩形、圓形、三角形、梯形、正多邊形的面積與周長）
  選擇常見平面圖形並填写尺寸，即可计算面積與周長。目前支援矩形、圓形、三角形、梯形和正多邊形。对于正多邊形，需要提供边数以及边长、外接半徑或内接半徑中的至少一项。無需轉換單位，只要輸入时保持一致，結果自然與輸入單位相匹配。点击“複製結果連結”即可获得带参連結，用于收藏或分享。
• 三角形求解器（SSS / SAS / ASA，面积與外接圆半径）
  選擇已知的三角形参数（如三边、两边加夹角、或两个角加夹边），即可自动計算剩余的边长、角度、面积、周长以及外接圆與内接圆半径。提供 SSS、SAS、ASA 三种确定的组合；不支援存在二义性的 SSA 情况。先利用海伦公式求面积 S ，随後通过 R = abc / (4S) 和 r = S / s （ s 為半周长）得到外接圆與内接圆半径。
• 三角形求解器（SSS/SAS/ASA/SSA）｜CalcBE
  輸入已知邊角，快速求出其餘邊角、面積與內外接圓半徑。支援三邊（SSS）、兩邊夾角（SAS）、兩角一邊（ASA/AAS）與 SSA 二解判定。
• 不等式求解器（单变量/二元）— 含步驟與圖示
  一步到位解出一次、双侧、绝对值、二次及有理不等式，並可可視化半平面或不等式组。自動紀錄推导步驟，支援複製 LaTeX 與分享連結，便于課堂讲解與自学複盘。涵盖一次、双侧、绝对值、二次及有理不等式，並能将半平面及線性不等式组用多邊形填充展示。所有推导步驟会紀錄在右侧，方便課堂讲解或自学检查，同時支援 LaTeX 複製與連結分享。
• 分布計算器（二項、泊松、t、卡方）| CalcBE
  計算二項、泊松、t 與卡方分布的 PMF/PDF、CDF、分位點與精確區間，並查看圖形、步驟、CSV、LaTeX 與分享連結。
• 分數計算器（約分／帶分數／最小公分母）
  直接輸入帶分數或假分數，進行加減乘除，並同時顯示約分後、帶分數與小數近似。可複製分享連結。支援輸入帶分數與假分數，並同時顯示多種表示方式。免安裝、可直接在瀏覽器使用，並支援複製結果與分享連結。
• 比、比例與百分比求解器（含步驟）
  逐步處理比值約分、比例式求解、按比例分配、百分比變化與比例尺換算，支援教師模式、分享連結與 LaTeX 匯出。比、比例與百分比求解器（含步驟）。涵蓋比、比例與百分比的九種常用模式，配合教師模式與分享連結，方便課堂示範與自主學習。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 主題和集合 | CalcBE
  用主題方式瀏覽 CalcBE，快速找到金融、學習、文件與生活常用工具。主題。把相近工具整理成主題，幫你更快找到可直接使用的頁面。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 代數練習紙產生器｜可列印題目、答案與 CSV | CalcBE
  為一次方程、二次方程、因式分解、分數和比例建立可列印的代數練習紙，附答案、可選步驟、CSV 匯出與列印友好的 PDF。
• 加權隨機抽取｜按權重（機率比）抽取｜CalcBE
  按權重（機率比）從清單隨機抽取項目。支援有放回/無放回、種子重現、複製結果與分享連結；全程在瀏覽器內本機執行，不會上傳資料。
• 对数法则变换器（含步驟）｜CalcBE 工具
  展示对数的展开、合成、底数变换和数值計算的完整步驟，支援 log10 與 ln 形式，可複製 LaTeX 並提供教师模式。展开、合成、变更底数和計算对数时同步顯示每一步，並提供教师模式與 LaTeX 複製。可展开乘法、除法、幂次，合成带符号的对数和，执行底数变换（顯示 log10 與 ln），並支援指定小数位的数值計算。
• 平方根簡化：因數樹與步驟 | CalcBE
  將 √n 簡化為 a√b，顯示因數樹、平方配對與步驟，並可用平方夾逼呈現小數近似。支援示例、LaTeX 複製與 SVG 匯出。將 √n 分解並配對平方，讓成對因子移出根號得到 a√b，同時用圖形呈現。同一因子出現兩次就是 p²，且 √(p²)=p。成對的因子移到根號外，單個的留在根號內。若所有因子成對，根號內為 1，√144 會直接變成 12，不再有根號。
• 平均與標準差計算器（母體 vs 樣本）
  貼上或輸入數據集，計算筆數、平均、變異數與標準差（母體 N / 樣本 N-1）。可複製分享連結。貼上或輸入數據集，計算母體（N）與樣本（N-1）的統計量。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。支援複製 URL，方便收藏或分享。支援一鍵複製結果。
• 向量計算器（內積/外積/投影/角度/面積/三重積）
  計算 2D/3D 向量的範數、內積、外積、投影、角度、平行四邊形/三角形面積與三重積。含步驟、2D 圖、分享連結與 CSV/LaTeX。支援 2D/3D，顯示運算步驟與 2D 圖。可分享、CSV 與 LaTeX。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。
• 投資與財富累積（NISA/SIP/複合/退休）| CalcBE
  比較 NISA（少額投資免稅制度）、SIP（定期定額投資）、複利成長與退休目標情境。可保存假設條件並用連結與家人或同事共享。
• 极限計算器 — 单侧极限與数值 L'Hôpital
  检查未定型、应用数值 L'Hôpital、采样单侧极限並绘制邻域圖像的极限計算器。提供计算步驟、共享連結、LaTeX 複製與 CSV 匯出。自動识别未定型、执行数值 L'Hôpital、采样单侧极限，並持续顯示“如何计算”步驟，適合課堂演示或自学。
• 求导計算器（步驟、切线、数值求导）
  支援单变量、偏导、隐函數與参数式的求导計算器。即时展示符号求导與中心差分＋Richardson 外推的数值求导，附带切线方程與完整步驟，適合教学與自学。可同时輸出符号求导與数值求导，並保留「計算過程」步驟日志。支援 n 阶導數、偏导、隐函數求导及参数方程，附带切线方程，便于教学演示與自学练习。
• 函數变换探索器（平移、缩放、对称）
  通过滑块操作 a、b、h、v，探索 y = a·f(b(x−h)) + v 对一次、二次、绝对值、根式、指数、对数、正弦、余弦等函數族的影响。同屏顯示原函數與变换後函數、渐近线，並在 計算步驟 中查看详细步驟。
• 帕斯卡三角與二項展開計算器（含步驟） | CalcBE
  用 BigInt 精確生成帕斯卡三角各行、組合數 C(n,k) 和 (ax+by)^n 展開，並顯示計算過程、CSV 匯出與分享連結。
• 房地產（抵押/攤銷/負擔能力）| CalcBE
  估算房貸月付、攤還時間表與 DTI（負債收入比）負擔能力。可比較不同利率、頭期款與年期情境，並以連結保存條件，方便與家人或顧問共同檢查。
• 抽样與自助法——中心极限定理演示（含步驟） | CalcBE
  使用固定種子的線性同餘法生成均勻、常態、指數與伯努利樣本，計算均值/中位數/比率、自助法百分位區間與 t/常態區間，並配合「計算過程」與 CLT 直方圖理解中心極限定理，支援分享連結與 CSV 匯出。
• 長除法計算器（含步驟） | CalcBE
  用呢一頁學整數長除法，逐步睇商、餘數同筆算排版；只在需要時再延伸少量小數位，適合課堂驗算、自學練習與瀏覽器即時核對。
• 科學計算器（三角函數／對數／角度模式）
  支援三角函數、對數、指數與階乘，提供度/弧度切換、鍵盤輸入、記憶功能與分享連結，適合日常計算、課堂驗算與快速重現，並可在瀏覽器直接使用。
• 泰勒/麦克劳林多项式——含步驟與对比圖
  通过符号求导生成 x=a 处的 P_n(x)，必要时用最小二乘拟合补足系数。工具将 f 與 P_n 绘制在同一画布，提供误差概览、步驟紀錄、LaTeX、CSV 以及可分享的連結，適合課堂讲解。
• 特征值與特征向量 (2x2, 3x3) - 含步驟
  支援 2x2 與 3x3 矩陣的特征值、特征向量、残差與重数分析，涵盖解析解、有理根搜索與 QR 迭代。一步到位呈现特性多项式、有理根检验、QR 迭代、特征向量與残差，方便課堂演示與自学複盘。按 Alt+S 複製带参数的分享連結；按 Alt+L 複製特性多项式的 LaTeX 片段，便于插入讲义或作业。
• 真值表與邏輯表達式化簡（DNF/CNF）| CalcBE
  輸入邏輯表達式，生成真值表與規範 DNF/CNF，並支援化簡、步驟說明、CSV 匯出與分享連結。
• 矩陣計算器 — RREF / 解 Ax=b / 逆矩陣 / 行列式（含步驟）
  支援 RREF、解 Ax=b、求逆矩陣、行列式與秩，展示零空间、行空间和列空间的手动步驟。Exact 分數模式與 Decimal 小数模式均带有分享連結和 LaTeX 匯出。
• 紙張和模板：方格紙、筆記、工作表 | CalcBE
  可打印的紙張模板：方格紙、筆記、工作表和計劃表。生成精確的 SVG 並打印到 PDF — 在瀏覽器中本地運行。紙張和模板。用於方格紙、筆記、工作表和規劃的可打印模板 - 生成為精確的 SVG。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 常態分配計算器 — PDF/CDF/分位數與 Z 分數
  輸入平均與標準差，計算 PDF、CDF（單尾/雙尾）、分位數、區間機率與 Z 分數。含步驟、著色常態曲線、分享連結與教師註記。免安裝、可直接在瀏覽器使用，並支援複製結果與分享連結。
• 排列與组合計算器（nPr, nCr）— 顯示步驟
  計算排列nPr、组合nCr、阶乘n!。提供BigInt精确值、科学计数法近似、步驟日志、教师模式及可分享的URL，適合課堂演示與自学。輸入n和r即可同时得到排列、组合與阶乘的精确值及近似值，並查看逐步乘除过程、教师提示以及可複製的分享連結。排列区分顺序，例如AB與BA视為两种情况；组合不区分顺序，AB與BA只算一次。
• 部分分式分解工具（含步驟）｜CalcBE 工具
  把有理函數 P(x)/Q(x) 拆成商 H(x) 和部分分式，展示长除法、Durand-Kerner 因式分解、線性方程求解以及残差校验，还提供 LaTeX、CSV 與可分享的連結。
• 最大公因數與最小公倍數（含步驟）— 擴展歐幾里得、化簡分數/比
  逐步展示 a = q·b + r 的互除過程，可處理最多 64 個整數，並提供擴展歐幾里得回代、分數與比例約分、質因數分解、教師提示、快捷鍵、LaTeX 與 URL 分享；支援複製結果和步驟，適合課堂示範與自學複習。
• 最大公因數與最小公倍數線上計算器（整數列表）｜CalcBE
  一次輸入最多 32 個整數，就能同時計算最大公因數（GCD）與最小公倍數（LCM），並顯示步驟。支援貼上數列、複製結果連結，方便教學與作業檢查.以逗號或空白分隔，一次最多 32 個整數。無需安裝，可在瀏覽器中免費使用。輸入數值即可立即計算並查看結果。適合學習檢查、作業核對與日常換算。
• 單位圓與三角函數探索（振幅／週期／相位）
  互動探索單位圓與三角函數，快速查看振幅、週期、相位與函數圖形變化。支援步驟說明、CSV/LaTeX 匯出與分享連結。單位圓與三角函數探索。同步檢視單位圓與函數圖形，快速理解振幅、週期與相位如何影響曲線。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 幾何和圖形工具：三角形、矢量、2D/3D | CalcBE
  三角形、向量、2D/3D 幾何與圖形工具（方格紙、數軸等）。免費、免註冊，免安裝，瀏覽器內運行，支援手機。適合學習與作業。幾何和圖形工具。三角形、矢量和視覺助手。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 描述统计 + 箱线圖與直方圖（含步驟）
  粘贴資料或上传 CSV/TSV，查看描述统计、直方圖、箱线圖、异常值数量、截尾均值、CSV 與 LaTeX 匯出，並保留完整的計算步驟说明。粘贴課堂資料或上传 CSV/TSV，即可生成描述统计、箱线圖、直方圖、异常值统计、截尾均值、CSV/LaTeX 匯出，並保留完整的計算步驟以便課堂展示。
• 稅務計算器：增值稅、商品及服務稅、所得稅、淨額 ↔ 總額 | CalcBE
  適用於增值稅/商品及服務稅、淨↔總換算和所得稅的快速稅務計算器。僅限瀏覽器，無需註冊。增值稅/商品及服務稅、淨↔總轉化以及快速稅收計算。
• 統計（推理和測試）| CalcBE
  用於置信區間、假設檢驗、回歸和不確定性的推理工具。僅瀏覽器，無需登錄。統計（推理和測試）。置信區間、假設檢驗、回歸和不確定性。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 統計與概率（概述）：推理、模擬、圖表 | CalcBE
  統計和概率概述中心。對於重點列表，請打開推理和測試、概率和模擬或數據可視化。統計與概率。從這裡開始，然後選擇一個焦點：推理、模擬或可視化。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 貸款和抵押計算器：付款、時間表、負擔能力 | CalcBE
  貸款與房貸計算器合集：估算每期還款、比較攤銷表、檢查負擔能力（DTI）與利息。免費、免註冊，瀏覽器內運行。支援手機，結果可分享。
• 進制轉換與位運算工具（2/8/10/16進）｜CalcBE
  在瀏覽器中快速完成二、八、十、十六進制互轉，並支援常見位運算與移位操作。無需登入，資料不會上傳。進制轉換與位運算工具（2/8/10/16進）。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 開發和數據工具：JSON、UUID、子網/CIDR、隨機 CSV | CalcBE
  開發人員實用程序：JSON 格式、UUID、子網/CIDR、隨機 CSV 測試數據和文本工具。僅瀏覽器，無需登錄。開發和數據工具。格式化 JSON、生成 ID 和準備測試數據 — 一切都在您的瀏覽器中完成。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 圓錐曲线探索器——標準式、焦点、准线與离心率（含步驟）
  从一般二次式到標準式：分类、旋转消去 xy、配方法、並可視化焦点/准线/渐近线。支援 LaTeX、分享連結與 CSV。一般二次式 → 旋转/平移 → 標準式。可視化焦点、准线與渐近线，並展示計算步驟。使用判别式 Δ=B^2−4AC。Δ<0：椭圆（A=C 為圆）；Δ=0：抛物线；Δ>0：双曲线。
• 概率與模擬工具| CalcBE
  用於樹、組合學、分佈和蒙特卡羅直覺的概率模擬器和計算器。僅瀏覽器，無需登錄。概率和模擬工具。模擬、計算和合理性檢查賠率：樹、組合和分佈。。提供清晰步驟與重點說明，方便在手機和電腦使用。
• 置信区间與假设检验向导（均值與比例）
  一步完成均值與比例的置信区间與假设检验。支援 Welch、配对样本、Wilson、Newcombe，並以圖形顯示 p 值区域。按步驟完成均值與比例的 t 检验、z 检验，自动紀錄公式、可視化 p 值並生成可共享的連結。它展示與数值 p 值对应的棄却区域。双侧检验高亮两端，单侧检验只高亮备择方向，便于解释显著性。

相關專題

• 統計與概率
• 幾何
• 學習

常見問題