星與棒計算器
計算整數解的數量 x1 + … + xk = n 對於相同的球/盒子，可以選擇 xi ≥ 0, xi≥1, 和 xi ≥ ai （這也是重複/多選的組合）。
使用方法（3步）
- 輸入 n （總計）和 k （變量/框的數量）。
- 選擇條件： xi ≥ 0, xi≥1, 或 xi ≥ ai （可選：有界）。
- 複製可共享的 URL 以重現相同的状態。
注意：本頁統計的是相同球。如果球彼此可區分，模型会不同。
视觉引導
對於小輸入，這顯示了一個使用星號 (*) 和條形 (|) 進行编碼的範例。這是一個说明，而不是“唯一的安排”。
結果
條件: —
方法: —
數值: —
位數: —
公式: —
步驟（短）
展示推理
範例（解决方案）
顯示小 n,k 的解决方案
提示：解决方案列表有上限（性能）。對於較大的輸入，僅使用計數。
公式和常見錯誤
- 非負 (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - 這相当於“重複組合”（多選）：
k multichoose n = C(n+k−1, n)。 - 正整數 (xi≥1):
C(n−1, k−1)（如果n<k则為0） - 下限 (xi≥ai)：轉換為
n−Σai，那么C((n−Σai)+k−1, k−1)
常見錯誤
- 混淆“相同的球”與“不同的球”。該計算器适用於 相同的 球（整數解）。
- 對於 xi≥1，記住
n<k給出0。 - 對於下限，請確保减去
Σai（不僅僅是一個 a，除非所有 ai 都相等）。
相關計算器
常見問題解答
什麼是星條法？
它統計將n個相同的物品分配到k個盒子中的方法的數量，即在xi≥0等條件下x1+…+xk=n的解决方案的數量。
為什麼非負情况会變成 C(n+k−1, k−1)？
將 n 個星星和 k−1 個條形排成一行。選擇條形位置唯一地確定解决方案，給出 C(n+k−1, k−1)。
当xi≥1時，公式有何變化？
設 yi=xi−1。那么 y1+…+yk=n−k 且 yi≥0，因此当 n≥k 時計數為 C(n−1, k−1)，否則為 0。
下界 xi≥ai 如何运作？
設 yi=xi−ai。那么 y1+…+yk=n−Σai 且 yi≥0。如果n≥Σai，则計數為C((n−Σai)+k−1, k−1)；否則為 0。
如果球是可區分的怎么办？
該計算器假設球是相同的。如果球是可區分的，则模型会發生變化（通常是 k^n 或多項式），因此根據問題使用不同的計算器。