별과 막대 계산기
별과 막대 방법을 사용하여 반복되는 조합 수를 계산합니다. x1 + ... + xk = n, 비음수, 양수, 하한 및 제한된 케이스를 포함합니다.
사용방법(3단계)
- 입력 엔 (전체) 및 케이 (변수 / 상자 수).
- 조건을 선택하세요: xi ≥ 0, xi ≥ 1, 또는 xi ≥ ai (선택사항: 제한됨).
- 동일한 상태를 재현하려면 공유 가능한 URL을 복사하세요.
참고: 이 계산기는 동일한 공. 공이 뚜렷하면 모델도 다릅니다.
비주얼 가이드
작은 입력의 경우 별표(*)와 막대(|)를 사용하여 인코딩하는 한 가지 예를 보여줍니다. “유일한 배열”이 아닌 예시입니다.
결과
단계(짧음)
추론을 보여주세요
예시(해결책)
작은 n,k에 대한 솔루션 표시
팁: 솔루션 목록에는 제한이 있습니다(성능). 큰 입력의 경우 개수만 사용하세요.
수식 및 일반적인 실수
- 음수가 아닌 (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - 이는 "반복 조합"(다중 선택)과 같습니다.
k multichoose n = C(n+k−1, n). - 긍정적 (xi≥1):
C(n−1, k−1)(만약n<k그럼0) - 하한 (xi≥ai):로 변환
n−Σai, 그러면C((n−Σai)+k−1, k−1)
일반적인 실수
- "동일한 공"과 "다른 공"을 혼동합니다. 이 계산기는 동일한 공(정수 솔루션).
- xi≥1인 경우 기억하세요.
n<k준다0. - 하한값을 얻으려면 빼야 합니다.
Σai(모든 ai가 동일하지 않는 한 단일 a가 아닙니다).
관련 계산기
올바른 별과 막대 설정을 선택하는 방법
이 계산기는 동일한 품목 상자나 변수에 분산됩니다. 순서가 중요하거나 항목이 서로 다른 경우 다른 계산 모델을 사용하세요.
막대가 중요한 이유
고전적인 그림에서 각 별은 하나의 항목이고 각 막대는 상자 사이의 구분선입니다. 일단 어디인지 결정하고 k−1 바는 사이에 간다 n + k − 1 위치에서 하나의 솔루션을 완전히 설명했습니다.
3단계로 사용하세요
- 입력 엔 동일한 항목의 총 개수에 대해 케이 상자 또는 변수의 수.
- 문제와 일치하는 조건을 선택하세요. xi ≥ 0, xi ≥ 1, 하한 또는 제한된 값.
- 먼저 개수를 읽은 다음 간단한 단계와 예시를 확인하여 올바른 모델을 선택했는지 확인하세요.
모드 선택 방법
- 사용 xi ≥ 0 빈 상자가 허용되는 경우.
- 사용 xi ≥ 1 모든 상자에 최소한 하나의 품목이 들어 있어야 합니다.
- 사용 xi ≥ ai 각 변수에 최소값이 있을 때.
- 사용 아이 ≤ xi ≤ 바이 하한과 상한이 모두 문제의 일부인 경우에만 가능합니다.
작업된 비교
빈 상자가 허용된 3개의 상자에 동일한 공 7개를 넣으면 개수는 다음과 같습니다. C(9,2). 모든 상자에 최소한 하나의 공이 있어야 한다면 포지티브 케이스로 전환하고 개수를 계산하세요. C(6,2) 대신. 이러한 대조는 일반적으로 교실 문제가 부정적인지 긍정적인지 파악하는 가장 빠른 방법입니다.
피해야 할 일반적인 실수
- 올바른 모델이 순열, 다항 계산 또는 정수 구성인 경우 고유 항목에 대해 이 페이지를 사용합니다.
- 따기 xi ≥ 0 문제가 실제로 각 상자에 최소한 하나의 항목이 있어야 한다고 말하는 경우.
- 합계가 여전히 도달할 수 있는지 확인하지 않고 하한 또는 상한을 입력합니다. 엔.
- 하나의 시각적 예를 전체 솔루션 세트로 읽어보세요.
함께 보기
자주 묻는 질문
별과 막대 방법이란 무엇입니까?
n개의 동일한 항목을 k개의 상자에 배포하는 방법의 수를 계산합니다. 이는 xi≥0과 같은 조건에서 x1+…+xk=n에 대한 해의 수입니다.
음수가 아닌 경우가 C(n+k−1, k−1)가 되는 이유는 무엇입니까?
n개의 별과 k−1개의 막대를 일렬로 배치합니다. 막대 위치를 선택하면 솔루션이 고유하게 결정되어 C(n+k−1, k−1)가 됩니다.
xi≥1일 때 공식은 어떻게 변합니까?
yi=xi−1이라고 하자. 그러면 yi≥0일 때 y1+…+yk=n−k이므로 n≥k일 때 개수는 C(n−1, k−1)이고, 그렇지 않으면 0입니다.
하한 xi≥ai는 어떻게 작동하나요?
yi=xi−ai라고 하자. 그러면 y1+…+yk=n−Σai이고 yi≥0입니다. n≥Σai이면 개수는 C((n−Σai)+k−1, k−1)입니다. 그렇지 않으면 0.
음수가 아닌 대신 언제 양수를 사용해야 합니까?
모든 변수나 상자가 최소한 하나의 항목을 받아야 하는 경우 긍정 사례를 사용합니다. 0이 허용되는 경우 음수가 아닌 대소문자를 사용하세요. 이러한 단일 단어 변경은 별표 문제에서 오답이 발생하는 가장 일반적인 원인입니다.
공이 구별 가능하다면 어떨까요?
이 계산기는 동일한 공을 가정합니다. 공이 구별 가능하면 모델이 변경되므로(종종 k^n 또는 다항식) 문제에 따라 다른 계산기를 사용하십시오.