Calculateur étoiles et barres
Calculez les répartitions avec répétition en quelques secondes, avec détail des formules utilisées.
Comment l'utiliser (3 étapes)
- Saisissez n (total) et k (nombre de variables ou de boîtes).
- Choisissez la contrainte : xi ≥ 0, xi ≥ 1 ou xi ≥ ai (avec option bornée).
- Copiez une URL de partage pour retrouver exactement le même état.
Note : cette page compte des boules identiques. Si elles sont distinctes, le modèle change.
Guide visuel
Pour les petites entrées, cette zone montre un exemple d'encodage avec des étoiles (*) et des barres (|). C'est une illustration, pas l'unique arrangement possible.
Résultat
Étapes (courtes)
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Exemples (solutions)
Afficher les solutions pour petits n,k
Tip: Solutions listing is capped (performance). For large inputs, use the count only.
Formulas & common mistakes
- Nonnegative (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - This equals “combinations with repetition” (multichoose):
k multichoose n = C(n+k−1, n). - Positive (xi≥1):
C(n−1, k−1)(ifn<kthen0) - Bornes inférieures (xi≥ai): ramenez à
n−Σai, puisC((n−Σai)+k−1, k−1)
Common mistakes
- Mixing up “identical balls” vs “distinct balls”. This calculator is for identical balls (integer solutions).
- For xi≥1, remember
n<kgives0. - For lower bounds, ensure you subtract
Σai(not just a single a unless all ai are equal).
Calculatrices associées
FAQ
Qu’est-ce que la méthode des étoiles et barres ?
Cette méthode compte le nombre de façons de répartir `n` objets identiques dans `k` boîtes, c’est-à-dire le nombre de solutions à `x1+…+xk=n` sous des contraintes comme `xi≥0`.
Pourquoi le cas non négatif devient-il C(n+k−1, k−1) ?
Placez `n` étoiles et `k−1` barres sur une ligne. Le choix des positions des barres détermine une solution unique, d’où `C(n+k−1, k−1)`.
Comment la formule change-t-elle quand xi≥1 ?
Posez `yi=xi−1`. Alors `y1+…+yk=n−k` avec `yi≥0`, donc le comptage vaut `C(n−1, k−1)` si `n≥k`, sinon 0.
Comment fonctionnent les bornes inférieures xi≥ai ?
Posez `yi=xi−ai`. Alors `y1+…+yk=n−Σai` avec `yi≥0`. Si `n≥Σai`, le comptage vaut `C((n−Σai)+k−1, k−1)`, sinon 0.
Et si les objets sont distinguables ?
Cette calculatrice suppose des boules identiques. Si elles sont distinguables, le modèle change, souvent vers `k^n` ou un multinomial ; utilisez alors un autre outil adapté au problème.