Calculateur étoiles et barres
Calculez les répartitions avec répétition en quelques secondes, avec détail des formules utilisées.
Comment l'utiliser (3 étapes)
- Saisissez n (total) et k (nombre de variables ou de boîtes).
- Choisissez la contrainte : xi ≥ 0, xi ≥ 1 ou xi ≥ ai (avec option bornée).
- Copiez une URL de partage pour retrouver exactement le même état.
Note : cette page compte des boules identiques. Si elles sont distinctes, le modèle change.
Guide visuel
Pour les petites entrées, cette zone montre un exemple d'encodage avec des étoiles (*) et des barres (|). C'est une illustration, pas l'unique arrangement possible.
Résultat
Étapes (courtes)
Afficher le raisonnement
Exemples (solutions)
Afficher les solutions pour petits n,k
Astuce : la liste des solutions est limitée pour préserver les performances. Pour de grandes valeurs, utilisez uniquement le nombre obtenu.
Formules et erreurs fréquentes
- Non négatif (xi≥0) :
C(n+k−1, k−1) - Cette formule compte les combinaisons avec répétition :
C(n+k−1, n). - Positif (xi≥1) :
C(n−1, k−1); sin<k, le résultat est0. - Bornes inférieures (xi≥ai) : remplacez n par
n−Σai, puis calculezC((n−Σai)+k−1, k−1).
Erreurs fréquentes
- Ne confondez pas les objets identiques et les objets distincts. Cette calculatrice traite des objets identiques, donc des solutions entières.
- Avec xi≥1, n’oubliez pas que
n<kdonne0. - Avec des bornes inférieures, soustrayez
Σai, et non une seule valeur a, sauf si toutes les bornes ai sont égales.
FAQ
Qu’est-ce que la méthode des étoiles et barres ?
Cette méthode compte les façons de répartir n objets identiques dans k boîtes. Cela revient à compter les solutions de x1+…+xk=n sous des contraintes telles que xi≥0.
Pourquoi le cas non négatif devient-il C(n+k−1, k−1) ?
Placez n étoiles et k−1 barres sur une ligne. Le choix des positions des barres détermine une solution unique, d’où C(n+k−1, k−1).
Comment la formule change-t-elle quand xi≥1 ?
Posez yi=xi−1. Alors y1+…+yk=n−k avec yi≥0. Le nombre de solutions vaut donc C(n−1, k−1) si n≥k, sinon 0.
Comment fonctionnent les bornes inférieures xi≥ai ?
Posez yi=xi−ai. Alors y1+…+yk=n−Σai avec yi≥0. Si n≥Σai, le nombre de solutions vaut C((n−Σai)+k−1, k−1), sinon 0.
Et si les objets sont distinguables ?
Cette calculatrice suppose que les objets sont identiques. S’ils sont distinguables, le modèle change, souvent vers k^n ou un coefficient multinomial ; utilisez alors un outil adapté au problème.