Método Estrelas e Barras
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Como usar (3 passos)
- Digite n (total) e k (número de variáveis ou caixas).
- Escolha a condição: xi ≥ 0, xi ≥ 1 ou xi ≥ ai (com opção limitada).
- Copie uma URL compartilhável para reproduzir o mesmo estado.
Observação: esta página conta bolas idênticas. Se as bolas forem distintas, o modelo muda.
Guia visual
Para entradas pequenas, isto mostra um exemplo de codificação com estrelas (*) e barras (|). É uma ilustração, não o único arranjo possível.
Resultado
Passos (resumo)
Mostrar o raciocínio
Exemplos (soluções)
Mostrar soluções para n,k pequenos
Dica: a lista de soluções é limitada por desempenho. Para entradas grandes, use apenas a contagem.
Formulas & common mistakes
- Nonnegative (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - This equals “combinations with repetition” (multichoose):
k multichoose n = C(n+k−1, n). - Positive (xi≥1):
C(n−1, k−1)(ifn<kthen0) - Limites inferiores (xi≥ai): converta para
n−Σai, depoisC((n−Σai)+k−1, k−1)
Common mistakes
- Mixing up “identical balls” vs “distinct balls”. This calculator is for identical balls (integer solutions).
- For xi≥1, remember
n<kgives0. - For lower bounds, ensure you subtract
Σai(not just a single a unless all ai are equal).
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Perguntas frequentes
O que é o método de estrelas e barras?
Ele conta o número de formas de distribuir n itens idênticos em k caixas, isto é, o número de soluções de x1+…+xk=n sob condições como xi≥0.
Por que o caso não negativo vira C(n+k−1, k−1)?
Coloque n estrelas e k−1 barras em uma linha. Escolher as posições das barras determina uma solução única, resultando em C(n+k−1, k−1).
Como a fórmula muda quando xi≥1?
Defina yi=xi−1. Então y1+…+yk=n−k com yi≥0; portanto a contagem é C(n−1, k−1) quando n≥k, caso contrário 0.
Como funcionam os limites inferiores xi≥ai?
Defina yi=xi−ai. Então y1+…+yk=n−Σai com yi≥0. Se n≥Σai, a contagem é C((n−Σai)+k−1, k−1); caso contrário, 0.
E se as bolas forem distinguíveis?
Esta calculadora assume bolas idênticas. Se as bolas forem distinguíveis, o modelo muda, muitas vezes para k^n ou multinomial; nesse caso use outra calculadora apropriada.