स्टार्स एंड बार्स कैलकुलेटर — मल्टीचूज़ फ़ॉर्मूले
x1 + … + xk = n के पूर्णांक हलों की संख्या निकालें (समान गेंदें/डिब्बे मॉडल)। विकल्प: xi ≥ 0, xi ≥ 1, और xi ≥ ai (इसे combinations with repetition / multichoose भी कहते हैं)।
कैसे उपयोग करें (3 चरण)
- n (कुल) और k (चर/डिब्बों की संख्या) दर्ज करें।
- शर्त चुनें: xi ≥ 0, xi ≥ 1, या xi ≥ ai (वैकल्पिक: bounded मोड)।
- उसी स्थिति को दोबारा खोलने के लिए शेयर लिंक कॉपी करें।
नोट: यह पेज एक जैसे items की गिनती करता है। अगर items अलग-अलग हों, तो मॉडल अलग होगा।
दृश्य मार्गदर्शिका
छोटे इनपुट पर stars (*) और bars (|) का एक उदाहरण विन्यास दिखता है। यह समझाने के लिए है, कोई एकमात्र व्यवस्था नहीं।
परिणाम
स्टेप्स (संक्षेप)
तर्क देखें
उदाहरण (हल)
छोटे n,k के लिए हल दिखाएँ
सुझाव: परफॉर्मेंस के लिए हलों की सूची सीमित है। बड़े इनपुट में केवल गिनती देखें।
फ़ॉर्मूले और आम गलतियाँ
- नॉन-नेगेटिव (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - इसे combinations with repetition (multichoose) भी कहते हैं:
k multichoose n = C(n+k−1, n). - पॉजिटिव (xi≥1):
C(n−1, k−1)(अगरn<kतो0) - लोअर बाउंड (xi≥ai): पहले
n−Σaiकरें, फिरC((n−Σai)+k−1, k−1)
आम गलतियाँ
- एक जैसी गेंदों और अलग-अलग गेंदों को मिलाना। यह कैलकुलेटर एक जैसी गेंदों (पूर्णांक हल) के लिए है।
- xi≥1 में याद रखें:
n<kहोने पर उत्तर0होगा। - लोअर बाउंड में
Σaiघटाना जरूरी है (सिर्फ एक a नहीं, जब तक सभी ai समान न हों)।
संबंधित कैलकुलेटर
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
Stars and bars तरीका क्या है?
यह n समान वस्तुओं को k डिब्बों में बाँटने के तरीकों की संख्या गिनती है। यही xi≥0 जैसी शर्तों के साथ x1+…+xk=n के हलों की संख्या है।
नॉन-नेगेटिव केस में C(n+k−1, k−1) क्यों आता है?
n stars और k−1 bars को एक पंक्ति में रखें। bars की स्थिति चुनते ही एक हल तय हो जाता है, इसलिए C(n+k−1, k−1) मिलता है।
जब xi≥1 हो तो फ़ॉर्मूला कैसे बदलता है?
yi=xi−1 रखें। तब y1+…+yk=n−k और yi≥0 मिलता है; इसलिए n≥k होने पर C(n−1, k−1), नहीं तो 0।
लोअर बाउंड xi≥ai कैसे काम करते हैं?
yi=xi−ai रखें। तब y1+…+yk=n−Σai और yi≥0 मिलता है। n≥Σai होने पर C((n−Σai)+k−1, k−1), अन्यथा 0।
अगर गेंदें अलग-अलग (distinguishable) हों तो क्या होगा?
यह कैलकुलेटर एक जैसी गेंदें मानता है। अगर गेंदें अलग-अलग पहचानी जाती हों, तो मॉडल बदल जाता है (अक्सर k^n या multinomial), इसलिए प्रश्न के अनुसार अलग कैलकुलेटर चुनें।