3 步開始
- 先只選一种方法，用預設輸入跑第一遍。
- 同時看近似值、誤差、圖表和下方采样表，不要只盯着最後一個數字。
- 想複用同一組設定時，可以換範例，或直接複製 URL。
課堂範例：先做快速演示，再比較級數，最後用可複現的蒙特卡洛說明隨機波動。
多邊形
增加內接正多邊形的邊數，從幾何角度觀察圓周率近似如何改善。
近似值—
參考 π—
绝對誤差—
相對誤差—
一致位數—
輸入摘要—
收敛圖
红色虚線表示參考 π。把圖和下面的采样表一起看，更容易看出不同方法的节奏差异。
采样步驟
| 步驟 | 近似值 | 绝對誤差 | 相對誤差 |
|---|
講義與板書準备
教學提示
- 想先建立幾何直觉時，先從多邊形開始最自然。
- Gregory 故意很慢，所以能把“收敛”這個概念直觀看出來。
- 紧接着看 Nilakantha，學生通常更容易感受到“方法不同，效率就不同”。
- 蒙特卡洛法適合說明另一件事：隨機過程也會朝穩定平均值靠近，但轨迹不會很平滑。
常見問題
為什麼蒙特卡洛法不是精確值？
它使用正方形內的隨機點來估計圓面積，所以結果本質上是模擬值。點數越多通常越穩定，但仍不是解析公式給出的精確結果。
為什麼 Gregory 收敛這麼慢？
Gregory-Leibniz 級數很容易解释，但每新增一項帶來的改進都很小，所以適合教學，不適合速度比賽。
為什麼邊數增加後會更準確？
內接多邊形的形狀會越來越貼近圓，因此它的周長會越來越接近圓周，圓周率估計也會同步改善。
一致位數是什麼意思？
它表示估計值與參考圓周率從最前面開始，有多少位连续相同，直到第一次不同為止。
第一次應該先看哪种方法？
建议先看多邊形，再比較 Gregory 和 Nilakantha，最後用蒙特卡洛法讨论隨機性與可重複性。