使い方 3 ステップ
- 最初は 1 つの方法だけを選び、初期値のまま試します。
- 近似値と誤差を確認し、グラフと表をセットで読みます。
- 別の例題を読み込むか URL をコピーして設定を再利用します。
授業用の例: 最初は「図形の入口」「級数比較」「再現できるモンテカルロ」の 3 種類として使い分けると進めやすくなります。
多角形
内接正六角形の弦長から辺数を2倍にする再帰式で半周長を求めます。既知の円周率は近似値の生成に使わず、Math.PIは誤差の参照値にだけ使います。
近似値—
基準の π—
絶対誤差—
相対誤差—
一致した桁数—
入力まとめ—
収束グラフ
赤い破線は基準の π です。グラフだけでなく、下の表も一緒に読むと方法の違いが分かりやすくなります。
サンプル表
| ステップ | 近似値 | 絶対誤差 | 相対誤差 |
|---|
4つの近似方法の仕組み
- Polygon
c₆ = 1; c₂ₙ = cₙ / √(2 + √(4 − cₙ²)); πₗₒwₑᵣ = n × cₙ / 2
正六角形の弦長から辺数を2倍にする再帰式で、内接正多角形の半周長を求めます。既知のπは近似値の生成に使わず、Math.PIは誤差比較の参照値にだけ使います。- Gregory–Leibniz
π ≈ 4 × Σ (-1)ᵏ / (2k + 1)
分かりやすい一方、上下に振動しながら非常にゆっくり収束します。- Nilakantha
π ≈ 3 + 4/(2·3·4) − 4/(4·5·6) + 4/(6·7·8) − …
Gregoryより少ない項で改善が見えやすい交互級数です。- Monte Carlo
π ≈ 4 × inside / total
正方形内の点のうち4分の1円に入った割合で見積もります。固定シードなら同じ実験を再現できます。
このページは収束の形と誤差を学ぶ比較ページです。辺数・項数・点数は同じ計算量ではありません。速度を比べるときは円周率アルゴリズムレースを使ってください。
授業メモ
- 多角形は「円に近づく図形」の直感を作る入口として最適です。
- Gregory はわざと遅いので、収束を言葉ではなく体験として見せられます。
- Nilakantha は Gregory の次に見せると、方法の違いがそのまま速さの違いとして伝わります。
- モンテカルロ法では、ランダムでも平均として安定していくこと、ただし滑らかではないことを説明できます。
ワークシートと板書の準備
- 代数ワークシート
「どの方法がどう良くなったか」を、そのまま振り返り問題や小テストに変えられます。
- グラフ用紙 PDF 生成
収束の様子を生徒に手で描かせたいときの補助用紙をすぐ用意できます。
- クイックチャート
短い比較表から、授業スライドやプリント向けのグラフを手早く作れます。
よくある質問
多角形の近似で円周率を先に使っていませんか？
使いません。正六角形の弦長を初期値にし、辺数を2倍にする再帰式で内接正多角形の半周長を求めます。Math.PIは誤差を比べる参照値にだけ使います。
一致した小数桁数とは何ですか？
小数点以下を左から比べ、最初に違う数字が現れる直前までの桁数です。整数部の3は数えません。
なぜGregory–Leibniz級数はこんなに遅いのですか？
交互に加減する各項がゆっくりしか小さくならないためです。式は単純ですが、高い精度には非常に多くの項が必要です。
なぜNilakantha級数はGregoryより速く見えるのですか？
各項がより速く小さくなり、同程度の項数でも誤差が減りやすいためです。ただし項数と実行時間は同じ意味ではありません。
なぜモンテカルロ法の結果は上下に揺れますか？
有限個の擬似乱数点から面積比を見積もるためです。点数を増やすと安定しやすくなりますが、単調に改善するとは限りません。
シードとは何ですか？
擬似乱数列の開始値です。同じ点数と同じシードなら同じ結果を再現できます。シード0も独立した有効値です。
基準の円周率は何桁まで正確ですか？
JavaScriptのMath.PIを使うため倍精度の範囲です。一致判定は小数点以下最大14桁で、任意精度計算ではありません。
このページで4方式の速度を公平に比較できますか？
できません。辺数、項数、点数は計算量が異なります。このページは収束と誤差の学習用です。速度比較には円周率アルゴリズムレースを使ってください。