- Scegli un metodo e mantieni i dati in ingresso predefiniti per la prima esecuzione.
- Confronta la stima e l'errore, quindi leggi insieme il grafico e la tabella dei passaggi campionata.
- Carica un altro esempio o copia l'URL quando desideri riutilizzare la configurazione.
Preimpostazioni in aula: utilizza una demo rapida, un confronto di serie e un'esecuzione Monte Carlo riproducibile prima di modificare manualmente i dati in ingresso.
Parte dalla corda di un esagono inscritto e raddoppia il numero di lati con una ricorrenza. La stima non usa un valore noto di π; Math.PI serve solo come riferimento per l’errore.
Grafico di convergenza
Leggi il grafico con la tabella campionata di seguito. La linea rossa tratteggiata segna il valore di riferimento di pi greco.
Passaggi campionati
| Passo | Stima | Errore assoluto | Errore relativo |
|---|
Note dell'insegnante
- Inizia con il poligono quando vuoi un'immagine geometrica del motivo per cui pi greco è legato ai cerchi.
- Gregory è volutamente lento, così gli studenti possono vedere cosa significa convergenza invece di limitarsi alla parola.
- Nilakantha è utile subito dopo Gregory perché la stessa idea sembra improvvisamente molto più efficiente.
- Monte Carlo mostra una lezione diversa: la casualità può ancora muoversi verso una media stabile, ma non in modo perfettamente fluido.
Come funzionano le quattro approssimazioni
- Polygon
c₆ = 1; c₂ₙ = cₙ / √(2 + √(4 − cₙ²)); πₗₒwₑᵣ = n × cₙ / 2
Parte dalla corda di un esagono inscritto e raddoppia il numero di lati con una ricorrenza. La stima non usa un valore noto di π; Math.PI serve solo come riferimento per l’errore.- Gregory–Leibniz
π ≈ 4 × Σ (-1)ᵏ / (2k + 1)
È semplice, ma oscilla e converge molto lentamente.- Nilakantha
π ≈ 3 + 4/(2·3·4) − 4/(4·5·6) + 4/(6·7·8) − …
Con pochi termini migliora in genere molto più rapidamente di Gregory.- Monte Carlo
π ≈ 4 × inside / total
Stima un rapporto di aree con punti pseudocasuali. Un seed fisso riproduce lo stesso esperimento.
Questa pagina confronta il comportamento di convergenza, non lo stesso costo di calcolo. Lati, termini e punti non sono unità di lavoro equivalenti; per confrontare la velocità usa la Gara degli algoritmi di π.
Preparazione del foglio di lavoro e della lavagna
- Fogli di lavoro di algebra
Seleziona "quale metodo è migliorato più velocemente?" in un messaggio di riflessione pronto per la stampa o in un ticket di uscita.
- Generatore di cifre Pi
Genera un prefisso decimale esatto dopo aver confrontato i metodi di approssimazione.
- Serie Taylor e Maclaurin
Confronta un altro caso in cui una sequenza di approssimazioni si avvicina a un valore o a una funzione.
Domande frequenti
L’approssimazione poligonale usa π per calcolare π?
No. Parte dalla corda di un esagono inscritto e applica una ricorrenza che raddoppia i lati. Math.PI viene usato soltanto per misurare l’errore finale.
Che cosa sono le cifre decimali corrispondenti?
Contano le cifre consecutive dopo la virgola fino alla prima differenza. Il 3 della parte intera non viene contato.
Perché Gregory–Leibniz converge così lentamente?
I suoi termini alternati diminuiscono molto lentamente. La formula è semplice, ma per ottenere alta precisione servono moltissimi termini.
Perché Nilakantha sembra più veloce di Gregory?
I suoi termini diminuiscono più rapidamente e l’errore tende a calare prima. Un termine non rappresenta lo stesso tempo di calcolo in metodi diversi.
Perché Monte Carlo oscilla?
Il metodo stima un rapporto di aree da un campione pseudocasuale finito. Più punti rendono spesso il risultato più stabile, ma il miglioramento non è monotono.
Che cos’è il seed?
È lo stato iniziale della sequenza pseudocasuale. Lo stesso seed e lo stesso numero di punti riproducono il risultato. Il seed 0 è valido e distinto.
Quanto è preciso il valore di riferimento di π?
La pagina usa Math.PI di JavaScript, limitato alla doppia precisione. Il confronto è limitato a 14 cifre decimali e non è a precisione arbitraria.
È un confronto equo della velocità?
No. Lati, termini e punti richiedono quantità di lavoro diverse. Usa la Gara degli algoritmi di π per confrontare la velocità.