- Escolha um método e mantenha os valores padrão na primeira execução.
- Compare estimativa e erro, depois leia o gráfico junto com a tabela de etapas amostradas.
- Carregue outro exemplo ou copie a URL quando quiser reaproveitar a configuração.
Ajustes para aula: use uma demonstração rápida, uma comparação de séries e um Monte Carlo reproduzível antes de mudar tudo à mão.
Parte da corda de um hexágono inscrito e dobra o número de lados por recorrência. A aproximação não usa um valor conhecido de pi; Math.PI serve apenas como referência de erro.
Gráfico de convergência
Leia o gráfico junto com a tabela amostrada abaixo. A linha vermelha tracejada marca o valor de referência de pi.
Etapas amostradas
| Etapa | Estimativa | Erro absoluto | Erro relativo |
|---|
Como funcionam as quatro aproximações
- Polygon
c₆ = 1; c₂ₙ = cₙ / √(2 + √(4 − cₙ²)); πₗₒwₑᵣ = n × cₙ / 2
Parte da corda de um hexágono inscrito e dobra o número de lados por recorrência. A aproximação não usa um valor conhecido de pi; Math.PI serve apenas como referência de erro.- Gregory–Leibniz
π ≈ 4 × Σ (-1)ᵏ / (2k + 1)
É simples, mas oscila e converge muito devagar.- Nilakantha
π ≈ 3 + 4/(2·3·4) − 4/(4·5·6) + 4/(6·7·8) − …
Normalmente melhora bem mais rápido que Gregory com poucos termos.- Monte Carlo
π ≈ 4 × inside / total
Estima uma razão de áreas com pontos pseudoaleatórios. Uma semente fixa reproduz o mesmo experimento.
Esta página compara o comportamento de convergência, não o mesmo custo computacional. Lados, termos e pontos não são unidades equivalentes de trabalho; para comparar velocidade, use a Corrida de algoritmos de pi.
Preparar fichas e quadro
- Gerador de fichasTransforme a comparação entre métodos em roteiro de observação ou atividade para a turma.
- Papel quadriculado PDFÚtil para marcar valores, desenhar referências e preparar material de quadro.
- Gráficos rápidosConverta uma pequena tabela de erros ou etapas em gráfico simples para aula.
Notas para aula
- Comece pelo polígono quando quiser mostrar por que pi está ligado à geometria do círculo.
- Gregory é deliberadamente lento, então os alunos sentem o que é convergência em vez de só ouvir o termo.
- Nilakantha funciona bem logo depois de Gregory porque a mesma ideia passa a parecer muito mais eficiente.
- Monte Carlo traz outra lição: aleatoriedade também pode caminhar para uma média estável, mas não de forma perfeitamente suave.
Perguntas frequentes
A aproximação por polígono usa pi para calcular pi?
Não. Ela parte da corda de um hexágono inscrito e usa uma recorrência que dobra os lados. Math.PI é usado apenas para medir o erro final.
O que são casas decimais coincidentes?
São os dígitos consecutivos depois da vírgula até a primeira diferença. O 3 da parte inteira não entra na contagem.
Por que Gregory–Leibniz converge tão devagar?
Os termos alternados diminuem muito lentamente. A fórmula é simples, mas alta precisão exige muitos termos.
Por que Nilakantha parece mais rápida que Gregory?
Seus termos diminuem mais depressa, então o erro costuma cair antes. Um termo não representa o mesmo tempo de execução em todos os métodos.
Por que Monte Carlo oscila?
O método estima uma razão de áreas com uma amostra pseudoaleatória finita. Mais pontos geralmente estabilizam o resultado, mas a melhora não é monotônica.
O que é a semente?
É o estado inicial da sequência pseudoaleatória. A mesma semente e o mesmo número de pontos reproduzem o resultado. A semente 0 é válida e distinta.
Qual é a precisão do valor de referência de pi?
A página usa Math.PI do JavaScript, limitado à precisão dupla. A coincidência é limitada a 14 casas decimais e não é precisão arbitrária.
Esta é uma comparação justa de velocidade?
Não. Lados, termos e pontos exigem quantidades diferentes de trabalho. Use a Corrida de algoritmos de pi para comparar velocidade.