- Choisissez une méthode et gardez les valeurs par défaut pour la première exécution.
- Comparez l'estimation et l'erreur, puis lisez ensemble le graphique et le tableau d'étapes échantillonnées.
- Chargez un autre exemple ou copiez l'URL si vous voulez réutiliser exactement le même réglage.
Préréglages pour la classe : utilisez une démo rapide, une comparaison de séries et un Monte Carlo reproductible avant de modifier les valeurs à la main.
La méthode part de la corde d’un hexagone inscrit et double les côtés par récurrence. L’approximation n’utilise pas une valeur connue de π ; Math.PI sert seulement de référence d’erreur.
Graphique de convergence
Lisez le graphique avec le tableau échantillonné juste en dessous. La ligne rouge pointillée indique la valeur de référence de pi.
Étapes échantillonnées
| Étape | Estimation | Erreur absolue | Erreur relative |
|---|
Fonctionnement des quatre approximations
- Polygon
c₆ = 1; c₂ₙ = cₙ / √(2 + √(4 − cₙ²)); πₗₒwₑᵣ = n × cₙ / 2
Part de la corde d’un hexagone inscrit et double le nombre de côtés par récurrence. L’approximation n’utilise pas une valeur connue de π ; Math.PI sert seulement de référence d’erreur.- Gregory–Leibniz
π ≈ 4 × Σ (-1)ᵏ / (2k + 1)
Très simple, mais oscillante et extrêmement lente.- Nilakantha
π ≈ 3 + 4/(2·3·4) − 4/(4·5·6) + 4/(6·7·8) − …
Elle s’améliore généralement bien plus vite que Gregory avec peu de termes.- Monte Carlo
π ≈ 4 × inside / total
Estime un rapport d’aires avec des points pseudo-aléatoires. Une graine fixe reproduit la même expérience.
Cette page compare les comportements de convergence, pas un coût de calcul identique. Côtés, termes et points ne représentent pas la même quantité de travail ; utilisez la Course d’algorithmes de π pour comparer la vitesse.
Préparer fiches et tableau
- Générateur de fichesTransformez les comparaisons de méthodes en consignes d'observation ou en feuille de travail.
- Papier quadrillé PDFPratique pour annoter des valeurs, tracer des repères ou préparer un support de tableau.
- Graphiques rapidesConvertissez un petit tableau d'erreurs ou d'étapes en graphique simple pour la classe.
Notes pour le cours
- Commencez par le polygone si vous voulez une image géométrique de la relation entre pi et les cercles.
- Gregory est volontairement lent, ce qui aide à ressentir la convergence au lieu d'en entendre seulement le mot.
- Nilakantha est utile juste après Gregory, parce que la même idée paraît soudain beaucoup plus efficace.
- Monte Carlo montre une autre leçon : le hasard peut quand même tendre vers une moyenne stable, sans progression parfaitement lisse.
Questions fréquentes
L’approximation polygonale utilise-t-elle π pour calculer π ?
Non. Elle part de la corde d’un hexagone inscrit et applique une récurrence qui double les côtés. Math.PI sert uniquement à mesurer l’erreur finale.
Que signifient les décimales concordantes ?
Elles comptent les chiffres consécutifs après la virgule jusqu’au premier écart. Le 3 de la partie entière n’est pas compté.
Pourquoi Gregory–Leibniz converge-t-elle si lentement ?
Ses termes alternés diminuent très lentement. La formule est simple, mais une grande précision exige énormément de termes.
Pourquoi Nilakantha semble-t-elle plus rapide que Gregory ?
Ses termes diminuent plus vite, donc l’erreur baisse généralement plus tôt. Un terme ne représente pas le même temps de calcul dans chaque méthode.
Pourquoi Monte-Carlo fluctue-t-il ?
La méthode estime un rapport d’aires à partir d’un échantillon pseudo-aléatoire fini. Davantage de points stabilisent souvent le résultat, sans amélioration monotone garantie.
Qu’est-ce que la graine ?
C’est l’état initial de la suite pseudo-aléatoire. La même graine et le même nombre de points reproduisent le résultat. La graine 0 est valide et distincte.
Quelle est la précision de la valeur de référence de π ?
La page utilise Math.PI de JavaScript, limité à la double précision. La concordance est plafonnée à 14 décimales et n’est pas en précision arbitraire.
Est-ce une comparaison équitable de vitesse ?
Non. Côtés, termes et points demandent des quantités de travail différentes. Utilisez la Course d’algorithmes de π pour comparer la vitesse.