快速指南
- 用模擬器建立直覺，並比較理論機率與重複試驗結果。
- 問題是連勝、連敗或連續命中時，先開連續機率工具。
- 問題是每次試驗的平均報酬、損失或回收時，先看期望值。
- 用機率樹或 2×2 表整理 AND / OR / NOT 與補事件。
- 用 nCr / nPr 處理組合與排列。
工具
- 分佈取樣器 – 隨機樣本與直方圖（常態、卜瓦松等） | CalcBE
在瀏覽器中從常見分佈（常態、對數常態、伽馬、卜瓦松、二項等）產生隨機樣本。檢視直方圖與統計量，並下載 CSV/JSON — 全程本機執行。
- 隨機性檢定｜卡方、遊程、ACF、JB｜CalcBE
對位元序列或數值序列執行卡方、遊程、自相關（ACF）與 Jarque–Bera（JB）檢定。可視覺化結果並下載報告——全程在瀏覽器本機執行。
- 洗牌偏差比較｜樸素法 vs 費雪-耶茲法｜CalcBE
比較洗牌偏差：樸素的全範圍交換 vs 費雪–耶茲（可選 sort(() => random - 0.5)）。執行模擬、檢視熱力圖，並下載 JSON/CSV，全程在瀏覽器本機執行。
- 隨機過程視覺化｜隨機漫步/馬可夫鏈｜CalcBE
從轉移矩陣視覺化隨機漫步（1D/2D）和馬可夫鏈。檢視軌跡、MSD、穩態分佈，並下載結果（JSON/CSV/PNG）。
- 骰子統計（成功率/分佈）+ PNG 分享 | CalcBE
輸入 NdS +/- K（例如 2d6+3），計算判定成功率與分佈（平均/標準差、眾數）。小範圍用 Exact，大範圍自動切到 Sim，並可用文字/PNG/URL 分享。
- 骰子擲點器（d4–d100），支援 PNG 分享 | CalcBE
用快捷按鈕或 2d6+3 記法擲 d4–d100。檢視總和與明細，儲存歷史，並以文字或 PNG 分享——全程在瀏覽器內完成。
- TRPG 骰子判定（d20/d100、骰池）+ PNG 分享 | CalcBE
用優勢/劣勢做 d20/d100 判定並與 DC 比較，也可擲骰池來統計成功數。結果可用文字、PNG 或 URL 分享——全程在瀏覽器內完成。
- 隨機數產生器｜整數/小數／種子／去除重複｜CalcBE
在瀏覽器裡產生隨機整數或小數。支援種子（可重現）、去除重複（整數）、排序與複製結果。所有計算都在本機完成，不會上傳資料。
計算器
- 機率模擬器——硬幣、骰子、輪盤（理論與實測，對照並含步驟）
使用固定種子的 LCG 重現硬幣、加權骰子和歐/美輪盤，即時呈現理論機率與實測比率、Wilson 95% 區間、收斂圖、期望值、CSV/LaTeX 匯出以及計算步驟。
- 連續機率模擬器 | 連續輸贏 | CalcBE
估計連勝或連敗的機率、預期出現次數，以及一段試驗中可能看到的最長連續段。全程在瀏覽器中執行。
- 期望值模擬器 | 理論與隨機試驗 | CalcBE
用可分享的瀏覽器工具比較拋硬幣、骰子或簡單抽獎設定的理論期望值、變異數與模擬平均值。
- 機率樹與表格計算器（條件分支與步驟） | CalcBE
用機率樹與 2×2 表整理條件分支、AND/OR、補事件與路徑機率。適合課堂練習、範例檢查與逐步理解，不需登入。
- 生日悖論計算器（同生日機率） | CalcBE
輸入人數與一年天數，估算至少一組同一天生日的機率。用圖表與逐步說明理解生日悖論，不需登入。
- 集點收集計算器 – 預期抽取次數 | CalcBE
計算集點收集問題：收集所有項目所需的預期抽取次數、t50/t90/t99 完成次數以及 P(T<=t)。可切換加權稀有度、執行種子蒙地卡羅模擬，並分享連結或匯出 CSV。
- 分佈工具包計算器 - 二項、卜瓦松、t、卡方（含步驟顯示）
針對二項、卜瓦松、t、卡方分佈，計算 PMF/PDF、CDF、分位數和精確信賴區間，並提供圖形、CSV、LaTeX 與分享連結，附帶計算步驟。
- 超幾何分佈計算器（不放回抽樣） | CalcBE
計算不放回抽樣的超幾何分佈：剛好、至少、至多與區間機率。適合品質抽樣、抽選與統計練習，不需登入。
- 排列與組合計算器（nPr, nCr）— 顯示步驟
計算排列nPr、組合nCr、階乘n!。提供BigInt精確值、科學計數法近似、步驟日誌、教師模式及可分享連結，適合課堂示範與自學。 輸入n和r即可同時得到排列、組合與階乘的精確值及近似值，並檢視逐步乘除過程、教師提示以及可複製的分享連結。 排列區分順序，例如AB與BA視為兩種情況；組合不區分順序，AB與BA只算一次。
如何先選對機率工具
先看問題類型，而不是先套公式。本頁可協助你判斷該用模擬、精確計數、分佈模型，還是生日悖論、集點收集這類特定情境工具。
想建立直覺時，先開模擬器
當你想觀察重複試驗後的結果分散情形，可使用 機率模擬器 或取樣工具。硬幣、骰子、輪盤、隨機漫步，以及「重複很多次會怎樣」的問題，都適合從這裡開始。
結構固定時，先用公式工具
排列與組合請用 nCr / nPr，AND / OR / NOT 邏輯請用 機率樹 / 2×2 表，已知模型是二項、卜瓦松或 t 分佈時，請直接開 分佈工具。需要可說明的精確機率時，這條路通常比模擬更快。
何時使用特定情境計算器
常見錯誤
- 明明可以精確計數，卻先用模擬得到較難解釋的估計值。
- 實際是不放回抽樣，卻誤用二項分佈式模型。
- 沒有說明權重規則，就把加權隨機選擇和等機率結果放在一起比較。
- 把一次模擬結果當成保證，而不是把它視為結果分佈的一次樣本。
也可參考
常見問題
我應該先開哪個機率工具？
想用重複試驗建立直覺時，先開模擬器；問題是每次試驗的平均報酬或損失時，先看期望值；需要 AND / OR / NOT 邏輯時，用機率樹或 2×2 表；問題是排列組合計數時，用 nCr / nPr。若題目已明確指定二項、卜瓦松或 t 分佈，則直接開分佈工具。
什麼時候該用模擬，而不是公式？
想觀察結果分散、罕見事件或重複試驗的直覺時，適合用模擬。若設定固定，而且需要報告精確機率或精確計數，通常先用公式工具較清楚。
加權抽選和等機率抽選有什麼差別？
每個項目每次被抽到的機會都相同時，可用等機率工具。若每個項目的權重、機率或轉移機率不同，請使用加權抽選、加權取樣或馬可夫/隨機漫步工具，並把權重規則明確列出。
為什麼集點收集和生日悖論要分開算？
兩者回答的是不同的重複機率問題。集點收集關心集滿所有類別大概要多久，生日悖論則關心一群人中至少出現一組碰撞或重複的機率。
這些頁面也適合學習使用嗎？
適合。本專題的安排是先提供快速解答，再引導到機率樹、分佈或模擬器，協助你理解不同假設下結果為什麼會改變。