使用方法（3步）
- 選擇 n 和表示選項卡（括號、路徑或樹）。
- 選擇枚舉或抽樣，然後根據需要設定限制和種子。
- 查看 C_n、範例和完整表格，然後匯出 CSV 或分享 URL。
輸入
結果
C_n值
C_n = (1 / (n + 1)) * C(2n, n)
C_0 = 1，C_{n+1} = sum_{i=0..n} C_i * C_{n-i}
如何閱讀範例
括號使用「(」和「)」。路徑使用 U 表示向上，R 表示向右。樹使用 (L,R) 和「*」作為葉節點。
對於較大的 n，枚舉會自動停用。抽樣採用具有固定種子的均勻 DP 方法。
範例
表（C_0 至 C_nMax）
| n | C_n | 數字 |
|---|
範例演練
n = 3（5 個字串）
長度為 6 的平衡括號：((()))、(()())、(())()、()(())、()()()。
n = 10 (C_10 = 16796)
如果需要測試資料，請使用抽樣來瀏覽範例並匯出 CSV。
常見問題解答
什麼是卡塔蘭數？
卡塔蘭數計算平衡括號、Dyck 路徑、完整二元樹，以及許多共享相同遞迴的結構。
為什麼枚舉有上限？
範例的數量成長得非常快。抽樣可以保持頁面回應速度，同時仍然提供代表性輸出。
抽樣器是否均勻？
是的。抽樣器使用 DP 計數來選擇每個步驟，因此每個 Dyck 詞都有相同機率。固定種子會複製相同的列表。
Dyck 路徑如何映射到括號？
將「(」映射到 U，將「)」映射到 R。當括號字串平衡時，路徑恰好位於對角線下方。
多邊形三角剖分有何關係？
凸 (n+2) 邊形的三角剖分數量也是 C_n，因此多邊形三角剖分是另一種 Catalan 結構。
使用什麼樹定義？
此頁面使用具有 n 個內部節點的完整二元樹。葉節點顯示為「*」，內部節點寫為(L,R)。