步驟
結果
因數樹
此工具以教育用途為主。將 n 拆成質數乘積，並由各質數的指數計算 τ(n)（約數個數）、σ(n)（約數總和）、φ(n)（1 至 n 之間與 n 互質的整數個數）。同時比較 n 與 m 的指數，可分別取最小值與最大值來推導 gcd 與 lcm。對於教學範例（約 10¹³ 以內）通常能在可接受時間內完成。
教師使用小提示
- 適合在課堂上投影使用：可搭配步驟列表、質因數分解式與因數樹，逐步講解試除過程。
- 試除流程先用小質數 2、3、5，再以 6k ± 1 的形式一路到 √n，每一步都能對應黑板上的計算。
- 當輸入為負數時，會先抽出 -1，再依最小質因數持續分解，直到所有葉節點都是質數。
- 利用 n 與 m 的質因數分解指數，可同時解釋 τ(n)、σ(n)、φ(n)，並透過指數的最小值與最大值導出 gcd 與 lcm，方便檢查學生的推導過程。
- 例如 n=360，m=840，可以在同一畫面展示 360 = 2³·3²·5、840 = 2³·3·5·7，以及 gcd = 120、lcm = 2520。
常見問題
可以分解哪些整數？
輸入任意 |n| ≥ 2 的整數。若位數很大，逐步試除可能需要較長的計算時間。
因數樹如何繪製？
每個合數節點都按最小質因數與商來拆分，直到所有葉節點都是質數。每次執行計算時，因數樹都會依最新結果自動更新。
τ(n)、σ(n)、φ(n) 分別代表什麼？
τ(n) 表示 n 的正因數個數，σ(n) 表示所有正因數之和，φ(n) 表示 1 到 n 之間與 n 互質的整數個數。此工具直接從質因數分解中的指數計算這些算術函數。
為什麼可以用指數求 gcd 和 lcm？
若將 n 與 m 寫成若干質數冪的乘積，對每個質數取指數的最小值可得到 gcd，取最大值可得到 lcm。本頁面的指數表就是這條規則的可視化呈現。