ホーム / 電卓一覧 / 正規分布

正規分布・Zスコア電卓

平均と標準偏差を入れるだけで、PDF/CDF・分位点・区間確率・Zスコアを手順つきで自動計算し、塗り分けグラフと共有URLもすぐに使えます。

初期値は「テストの平均100点・標準偏差15点で、120点以下はどれくらいか？」の例になっています。モードを切り替えると必要な入力だけが残り、片側/両側もワンクリックで切り替わります。

他の言語版: ja | en | zh-CN

使い方（3ステップ）

  1. 平均と標準偏差を入力し、求めたいモードを選びます（初期値は平均100点・σ15点のテスト例）。
  2. 確率を出したい x、区間の a と b、パーセンタイル p、または Z スコア z を入力し、片側/両側を選びます。
  3. 「計算する」を押すと、数値結果・手順・グラフが同時に更新されます。結果はコピーや共有URLで保存できます。
モード
片側/両側

初期値は「平均100点・σ15点のテストで120点以下の割合」を示しています。区間 a=85, b=115 で「±1σ の範囲に入る割合」もすぐ確認できます。

結果

値: —

手順

    確率は 0〜1 と % の両方で表示します。教育用の目安としてご利用ください（最終判断は指導者や専門家で確認をお願いします）。

    正規分布グラフ

    平均と標準偏差から -4σ 〜 +4σ を描画し、選んだテールや区間を青で塗り分けます。結果と同時に更新されるので確率のイメージを掴みやすくなります。

    FAQ

    正規分布とは何ですか？

    正規分布は、平均 μ のまわりにデータがなだらかな山型（釣鐘型）に集まる分布です。平均に近い値が最もよく出現し、平均から大きく離れた値はまれにしか出ません。

    平均 μ と標準偏差 σ は何を意味しますか？

    平均 μ はデータの「中心的な値」を、標準偏差 σ はそのまわりの「ばらつきの大きさ」を表します。σ が小さいと多くの値が μ の近くに集まり、σ が大きいと μ から遠く離れた値もよく出ます。

    Zスコアとは何ですか？

    Zスコアは、ある値 x が平均 μ から標準偏差 σ 何個分だけ離れているかを表す指標で、z = (x − μ) / σ で定義されます。異なるテストや単位の結果でも、Zスコアにすると「どれくらい平均から離れているか」を同じ物差しで比べられます。

    左側確率・右側確率・両側確率はどう使い分けますか？

    左側確率は観測値以下となる割合、右側確率はそれ以上となる割合、両側確率は平均からの距離 |x−μ| 以上となる両端の割合です。検定の仮説や片側/両側テストの設定に合わせて選択してください。

    分位点（逆CDF）の近似精度はどの程度ですか？

    Acklam の有理近似とニュートン補正（1回）を採用しており、代表的なパーセンタイルで誤差は 10−6 前後に収まります。入試問題や授業用プリントで十分な精度です。

    関連

    計算方法

    • 入力された平均 μ と標準偏差 σ から z = (x − μ) / σ に標準化し、PDF f(x) = 1/(σ√(2π))·exp(−(x−μ)²/(2σ²)) と CDF Φ(z) = 0.5·(1 + erf(z / √2)) を用いて値を計算します。
    • 片側・両側・区間の確率は Φ を組み合わせて求めます（左側: P(X ≤ x) = Φ(z)、右側: P(X ≥ x) = 1 − Φ(z)、両側: 2·min(Φ(z), 1 − Φ(z))、区間: Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)).
    • 分位点は Acklam の逆正規近似と 1 回のニュートン法で求め、代表的なパーセンタイルで誤差はおおむね 10−6 程度です。計算はブラウザ内のみで行われ、共有URLには μ・σ・モード・入力値だけが保存されます。