Risultati
Formula PMF
P(X=k)=C(K,k)·C(N−K,n−k)/C(N,n)
Suggerimento: "almeno uno" lo è P(X≥1)=1−P(X=0).
Distribuzione (tabella PMF e grafico a barre)
| k | P(X=k) | CDF |
|---|
Simulazione (Monte Carlo)
Utilizzare prove e seed per riprodurre le esecuzioni. Per intervalli ampi, lo strumento raggruppa l'istogramma per rimanere veloce.
Esempi pratici e interpretazione
Cosa significano gli input
- N: dimensione della popolazione (elementi totali).
- K: numero di “successi” nella popolazione (oggetti a cui tieni).
- n: numero di estrazioni (dimensione del campione).
- k: successi nel tuo campione (la variabile casuale X).
Quando usarlo (rispetto al binomio)
- Ipergeometrico: campionamento senza sostituzione (la probabilità di successo cambia dopo ogni estrazione).
- Binomiale: prove indipendenti con probabilità di successo fissa (spesso con sostituzione o con una popolazione molto ampia).
- Regola pratica: se la frazione di campionamento è piccola (n/N è piccolo), ipergeometrica e binomiale con
p = K/Npossono essere vicine.
Esempi funzionanti (prova i preset)
Carte: pesca 5 su 52, quante probabilità hai di ottenere esattamente 2 assi?
Imposta N=52, K=4, n=5, interroga “Esattamente” con k=2.
Ispezione: 10 difettosi su 100, campione 8 — probabilità che almeno 1 difettoso?
Imposta N=100, K=10, n=8, interroga “Almeno” con k=1.
“Almeno uno” velocemente (trucco del complemento)
Calcola P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). È inoltre possibile utilizzare il pulsante di aiuto “P(X≥1)”.
Insidie comuni
- k non valido: il supporto è
k_min=max(0,n−(N−K))ek_max=min(n,K). Fuori da questo intervallo,P(X=k)=0. - Definisci chiaramente il "successo". "Successo" è solo l'etichetta per il tipo di elemento che stai contando, per esempio "difettoso", "rosso" o "asso".
- Intervalli grandi: la tabella PMF può essere omessa per prestazioni; usa il risultato probabilistico e/o la simulazione.
Riferimenti
Come usare questo calcolatore
Usalo quando estrai campioni senza reinserimento da una popolazione finita. Definisci dimensione della popolazione, successi nella popolazione, dimensione dell'estrazione e successi osservati prima di interpretare le code.
Come funziona
La pagina valuta la massa di probabilità ipergeometrica e le code cumulative tramite combinazioni. Mantiene esplicita l'ipotesi di popolazione finita: modifica N, K, n o k uno alla volta e osserva come cambiano probabilità esatta e successi attesi.
Quando usarlo
È adatto a controllo qualità, estrazioni tipo lotteria o carte, verifiche didattiche e soglie di rischio in cui gli elementi non tornano nella popolazione dopo ogni estrazione. Se le estrazioni sono indipendenti o di fatto con sostituzione, confronta invece con un modello binomiale.
Errori comuni da evitare
- Usare l'ipergeometrico quando ogni estrazione è indipendente o la popolazione è di fatto illimitata.
- Inserire una dimensione del campione n maggiore di N o un conteggio dei successi K maggiore di N.
- Confrontare le code senza verificare se servono esattamente k, al massimo k o almeno k successi.
- Trattare un valore arrotondato a schermo come una probabilità esatta in calcoli successivi.
Interpretazione ed esempio pratico
Parti da un piano di campionamento e registra P(X = k), P(X <= k) e P(X >= k). Poi modifica solo la dimensione dell'estrazione o la soglia di successo per vedere come cambia il rischio. Se la direzione sorprende, verifica che categorie di successo e fallimento corrispondano alla popolazione reale.
Vedi anche
Domande frequenti
A cosa serve il modello ipergeometrico?
Modella le estrazioni da una popolazione finita in cui ogni elemento non viene restituito, quindi le probabilità cambiano dopo ogni estrazione.
Come imposto gli ingressi?
Imposta la dimensione della popolazione N, il numero di elementi di successo K, la dimensione di estrazione n e il conteggio dei successi target k (o un intervallo) prima di controllare le code e i valori cumulativi.
Perché questo differisce dal binomio?
Il binomiale presuppone estrazioni indipendenti con ipotesi di sostituzione simili a quelle di sostituzione, mentre l'ipergeometrico gestisce l'esaurimento finito della popolazione ed è accurato per il campionamento senza sostituzione.
Come devo interpretare il risultato della coda?
I risultati finali riassumono gli scenari "almeno/al massimo" e sono utili per i controlli dei rischi, le soglie e i limiti decisionali.
Posso utilizzare i risultati per prendere decisioni?
Usali come segnale quantitativo per il confronto degli scenari, quindi convalidali rispetto alle ipotesi di contesto e ai limiti operativi prima delle decisioni finali.
Come viene calcolato
C(K,k)·C(N−K,n−k)/C(N,n)calcolato nello spazio logaritmico per la stabilità.k_min=max(0,n−(N−K)),k_max=min(n,K).