Distribución normal — PDF/CDF/Cuantil y puntuación Z

Cómo usarla (3 pasos)

Escribe la media y la desviación típica y elige qué quieres obtener (PDF/CDF, intervalo, percentil o puntuación Z). De inicio se usa un examen con media 100 y σ = 15.
Según el modo, introduce x, el intervalo [a, b], el percentil p o el valor z, y selecciona cola izquierda, derecha o dos colas si estás en CDF.
Pulsa «Calcular» para ver el resultado numérico, la lista de pasos y la curva normal sombreada. Puedes copiar el texto del resultado o una URL compartible para tareas o apuntes.

Modo

PDF CDF (una/dos colas) CDF inversa (cuantil) Probabilidad de intervalo Puntuación Z

Media μ

Desviación típica σ

x

Límite inferior a

Límite superior b

Percentil p

z

Cola

Izquierda Derecha Dos colas

El ejemplo por defecto muestra P(X ≤ 120) en un examen con media 100 y σ = 15. Prueba también a=85, b=115 para ver la probabilidad de estar dentro de ±1σ de la media.

Resultados

Valor: —

Pasos

Las probabilidades se muestran como valor entre 0 y 1 y también en porcentaje. Úsalas como referencia educativa; para decisiones reales apóyate en el criterio profesional o docente adecuado.

Vista previa de la curva normal

Mostramos el rango de −4σ a +4σ y resaltamos en azul la cola o el intervalo seleccionado, para ver de un vistazo a qué parte de la distribución corresponde la probabilidad.

Modo docente

Muestra z = (x − μ) / σ y la simetría Φ(−z) = 1 − Φ(z) para contrastar de forma visual las probabilidades de una y dos colas alrededor de la media.
Presenta la probabilidad de intervalo como Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ) y escribe los valores de z en cada extremo para que el alumnado siga el procedimiento paso a paso.
Usa x = μ + σΦ⁻¹(p) para cuantiles como sustituto de tablas Z impresas en diapositivas, apuntes y ejemplos resueltos.
El error de aproximación típico es de alrededor de 10⁻⁶ en percentiles habituales; adapta el redondeo al nivel y a los criterios de corrección de tu curso.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una distribución normal?

La distribución normal describe una variable continua que se concentra alrededor de una media μ, con dispersión medida por la desviación estándar σ. La curva en forma de campana es simétrica: los valores cercanos a μ son comunes y los muy extremos son poco frecuentes.

¿Qué significan la media μ y la desviación estándar σ?

La media μ indica el valor central o típico, mientras que la desviación estándar σ indica qué tan alejados de μ suelen estar los datos. Un σ pequeño significa que la mayoría de los valores están cerca de μ; un σ grande significa que los valores están más repartidos.

¿Qué es una puntuación z?

La puntuación z indica cuántas desviaciones estándar está un valor x por encima o por debajo de la media: z = (x − μ)/σ. Esto permite comparar resultados de distintas pruebas o escalas usando una misma referencia.

¿Cuándo usar cola izquierda, derecha o dos colas?

La cola izquierda informa P(X ≤ x), la derecha P(X ≥ x) y dos colas suma ambas donde |X−μ| ≥ |x−μ|. Elige según la hipótesis o el ejemplo de clase.

¿Qué precisión tiene la CDF inversa (cuantil)?

Aplicamos la aproximación racional de Peter Acklam con una iteración de Newton; el error típico ronda 10⁻⁶, suficiente para curso y preparación de exámenes.

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Cómo se calcula

Se tipifica a z = (x − μ)/σ y se usan la PDF normal f(x) = 1/(σ√(2π))·exp(−(x−μ)²/(2σ²)) y la CDF Φ(z) = 0,5·(1 + erf(z / √2)).
Las probabilidades de cola e intervalos se construyen a partir de Φ: izquierda P(X ≤ x), derecha 1 − Φ(z), dos colas 2·min(Φ(z), 1 − Φ(z)) e intervalos Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).
Los cuantiles usan la aproximación inversa de Peter Acklam con una iteración de Newton (error típico ≈ 10⁻⁶); todo se calcula en tu navegador y la URL compartible sólo guarda μ, σ, el modo y los campos introducidos.