使用方法（3步）
- 貼上你的資料 (t, y) 或載入 CSV。也可以使用預設範例。
- 選擇模型（自動比較/指數/Logistic）和顯示選項（對數軸、外推）。
- 按一下「計算」可查看參數、擬合曲線、殘差和模型比較。與分享 URL 分享相同的設定。
建議流程
延伸使用
資料輸入與選項
結果（參數、圖表、殘差）
結果會顯示在這裡。
擬合曲線
將滑鼠懸停在點上可查看詳細資訊（按一下以固定/取消固定）。
殘差圖
將滑鼠懸停在點上可查看詳細資訊（按一下以固定/取消固定）。
每列輸出（yhat 和殘差）
| 線 | t | y | yhat_exp | 指數殘差 | yhat_log | Logistic 殘差 |
|---|
模型比較（RMSE/AIC）
| 模型 | k | 均方根誤差 | AIC | 備註 |
|---|
計算步驟（如何計算）
模型（指數與 Logistic）和假設
- 指數生長使用
ln(y)，因此需要y>0。 - Logistic 生長包含飽和度 (K)，並且可能會因少數點而不穩定。
計算概覽
倍增時間
倍增時間表示數值加倍所需時間。對指數模型而言是 ln(2)/r（r>0）。
Logistic K（上限）
K 是上限（承載能力）。當資料中可見飽和趨勢時，Logistic 模型很有用。
- 指數：以迴歸
ln(y)=ln(y0)+rt估計r和y0。倍增時間為ln(2)/r。 - Logistic：估計
y=K/(1+exp(-r(t-t0)))透過非線性最小二乘法。 - 計算預測
yhat和殘差（y−yhat），並輸出圖表和表格。
常見問題
我應該如何在指數型和 Logistic 型之間選擇？
沒有飽和趨勢時使用指數模型；出現明確上限時使用 Logistic 模型。也請比較殘差和 RMSE/AIC。
倍增時間是如何計算的？
它由指數生長率 r 計算，公式為 ln(2)/r（r>0）。
如果 y 為零或負數怎麼辦？
指數模型需要取 ln(y)，因此無法使用這些值，相關列會被排除。可以嘗試 Logistic 模型或套用背景校正。
外推法可以嗎？
資料範圍之外的預測是不確定的，因此它們顯示為淡色虛線以供參考。
如果資料不適合或出現錯誤怎麼辦？
- 檢查你是否有兩欄（t 和 y），包含標題和分隔符號。
- 如果存在無效列，請啟用「移除缺漏/非數字」或修正資料。
- 如果 Logistic 擬合不穩定，請將初始 K 設定為手動並輸入一個粗略值。
- 指數要求 y>0（排除 y=0 或負數的列）。
我需要多少個資料點？
計算只需 2 個點即可執行，但 n 較小時 Logistic 擬合可能不穩定。建議盡量使用多個點（例如 6-10）並檢查殘差。
什麼時候應該使用對數軸？
在指數區域中，將 y 繪製在對數軸上時，曲線可能接近線性（需要 y>0）。
分享 URL 是否包含資料？
它只儲存設定（模型/視圖），不會儲存資料本身。
相關工具
參考文獻（備註）
用於理解公式和概念。在研究/教育中，根據需要檢查主要來源。
評論
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