3 步开始
- 先只选一种方法，用默认输入跑第一遍。
- 同时看近似值、误差、图表和下方采样表，不要只盯着最后一个数字。
- 想复用同一组设置时，可以换示例，或直接复制 URL。
多边形
增加内接正多边形的边数，从几何角度观察圆周率近似如何改善。
近似值—
参考 π—
绝对误差—
相对误差—
一致位数—
输入摘要—
收敛图
红色虚线表示参考 π。把图和下面的采样表一起看，更容易看出不同方法的节奏差异。
采样步骤
| 步骤 | 近似值 | 绝对误差 | 相对误差 |
|---|
教学提示
- 想先建立几何直觉时，先从多边形开始最自然。
- Gregory 故意很慢，所以能把“收敛”这个概念直观看出来。
- 紧接着看 Nilakantha，学生通常更容易感受到“方法不同，效率就不同”。
- 蒙特卡洛法适合说明另一件事：随机过程也会朝稳定平均值靠近，但轨迹不会很平滑。
常见问题
为什么蒙特卡洛法不是精确值？
它使用正方形内的随机点来估计圆面积，所以结果本质上是模拟值。点数越多通常越稳定，但仍不是解析公式给出的精确结果。
为什么 Gregory 收敛这么慢？
Gregory-Leibniz 级数很容易解释，但每新增一项带来的改进都很小，所以适合教学，不适合速度比赛。
为什么边数增加后会更准确？
内接多边形的形状会越来越贴近圆，因此它的周长会越来越接近圆周，圆周率估计也会同步改善。
一致位数是什么意思？
它表示估计值与参考圆周率从最前面开始，有多少位连续相同，直到第一次不同为止。
第一次应该先看哪种方法？
建议先看多边形，再比较 Gregory 和 Nilakantha，最后用蒙特卡洛法讨论随机性与可重复性。