星形和条形计算器
计算整数解的数量 x1 + … + xk = n 对于相同的球/盒子，可以选择 xi ≥ 0, xi≥1, 和 xi ≥ ai （这也是重复/多选的组合）。
使用方法（3步）
- 输入 n （总计）和 k （变量/框的数量）。
- 选择条件： xi ≥ 0, xi≥1, 或 xi ≥ ai （可选：有界）。
- 复制可共享的 URL 以重现相同的状态。
注意：此页很重要 相同的 球。如果球不同，则模型不同。
视觉引导
对于小输入，这显示了一个使用星号 (*) 和条形 (|) 进行编码的示例。这是一个说明，而不是“唯一的安排”。
结果
条件: —
方法: —
价值: —
数字: —
公式: —
步骤（短）
展示推理
示例（解决方案）
显示小 n,k 的解决方案
提示：解决方案列表有上限（性能）。对于较大的输入，仅使用计数。
公式和常见错误
- 非负 (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - 这相当于“重复组合”（多选）：
k multichoose n = C(n+k−1, n)。 - 积极 (xi≥1):
C(n−1, k−1)（如果n<k那么0） - 下限 (xi≥ai)：转换为
n−Σai，那么C((n−Σai)+k−1, k−1)
常见错误
- 混淆“相同的球”与“不同的球”。该计算器适用于 相同的 球（整数解）。
- 对于 xi≥1，记住
n<k给出0。 - 对于下限，请确保减去
Σai（不仅仅是一个 a，除非所有 ai 都相等）。
相关计算器
常见问题解答
什么是星条法？
它统计将n个相同的物品分配到k个盒子中的方法的数量，即在xi≥0等条件下x1+…+xk=n的解决方案的数量。
为什么非负情况会变成 C(n+k−1, k−1)？
将 n 个星星和 k−1 个条形排成一行。选择条形位置唯一地确定解决方案，给出 C(n+k−1, k−1)。
当xi≥1时，公式有何变化？
设 yi=xi−1。那么 y1+…+yk=n−k 且 yi≥0，因此当 n≥k 时计数为 C(n−1, k−1)，否则为 0。
下界 xi≥ai 如何运作？
设 yi=xi−ai。那么 y1+…+yk=n−Σai 且 yi≥0。如果n≥Σai，则计数为C((n−Σai)+k−1, k−1)；否则为 0。
如果球是可区分的怎么办？
该计算器假设球是相同的。如果球是可区分的，则模型会发生变化（通常是 k^n 或多项式），因此根据问题使用不同的计算器。