Calculadora de Stars and Bars
Cuenta el número de soluciones enteras de x1 + … + xk = n (bolas idénticas / reparto), con opciones para xi ≥ 0, xi ≥ 1 y xi ≥ ai (equivale a combinaciones con repetición / multiselección).
Cómo usar (3 pasos)
- Introduce n (total) y k (número de variables / cajas).
- Elige la condición: xi ≥ 0, xi ≥ 1 o xi ≥ ai (opcional: acotado).
- Copia una URL para compartir y reproducir el mismo estado.
Nota: Esta página cuenta bolas idénticas. Si son distinguibles, el modelo cambia.
Guía visual
Para entradas pequeñas, se muestra un ejemplo de codificación con estrellas (*) y barras (|). Es una ilustración, no “la única forma”.
Resultado
Pasos (corto)
Mostrar razonamiento
Ejemplos (soluciones)
Mostrar soluciones para n,k pequeños
La lista de soluciones está limitada por rendimiento. Para valores grandes, usa solo el conteo.
Fórmulas y errores comunes
- No negativas (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - Esto equivale a “combinaciones con repetición” (multiselección):
k multichoose n = C(n+k−1, n). - Positivas (xi≥1):
C(n−1, k−1)(sin<kentonces0) - Límites inferiores (xi≥ai): convertir a
n−Σai, luegoC((n−Σai)+k−1, k−1)
Errores comunes
- Confundir “bolas idénticas” con “bolas distinguibles”. Esta calculadora es para bolas idénticas.
- Para xi≥1, recuerda que
n<kda0. - Con límites inferiores, resta
Σai(no solo un a, salvo que todos sean iguales).
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Preguntas frecuentes
¿Qué es Stars and Bars?
Cuenta cuántas formas hay de repartir n elementos idénticos en k cajas, es decir, cuántas soluciones enteras tiene x1+…+xk=n con condiciones como xi≥0.
¿Por qué el caso xi≥0 es C(n+k−1, k−1)?
Se colocan n estrellas y k−1 barras en una fila. Elegir las posiciones de las barras determina una solución de forma única, por lo que el número es C(n+k−1, k−1).
¿Cómo cambia si xi≥1?
Sea yi=xi−1. Entonces y1+…+yk=n−k con yi≥0, así que el conteo es C(n−1, k−1) cuando n≥k y 0 cuando n<k.
¿Cómo funcionan los límites inferiores xi≥ai?
Sea yi=xi−ai. Entonces y1+…+yk=n−Σai con yi≥0. Si n≥Σai, el número es C((n−Σai)+k−1, k−1); si no, es 0.
¿Y si las bolas son distinguibles?
Esta calculadora asume bolas idénticas. Si las bolas son distinguibles, el modelo cambia (a menudo k^n o multinomial).