حاسبة النجوم والأعمدة
احسب عدد حلول الأعداد الصحيحة للمعادلة x1 + … + xk = n (توزيع n عناصر متطابقة على k صناديق)، مع خيارات xi ≥ 0 و xi ≥ 1 و xi ≥ ai (وهي نفسها “التوافيق مع التكرار / multichoose”).
طريقة الاستخدام (3 خطوات)
- أدخل n (المجموع) و k (عدد المتغيرات / الصناديق).
- اختر الشرط: xi ≥ 0 أو xi ≥ 1 أو xi ≥ ai (اختياريًا: حدود عليا).
- انسخ رابطًا قابلًا للمشاركة لإعادة نفس الحالة.
ملاحظة: هذه الصفحة تعد عناصر متطابقة. إذا كانت العناصر مميزة فالنموذج مختلف.
دليل بصري
للقيم الصغيرة يعرض هذا القسم مثالًا واحدًا لترميز النجوم (*) والفواصل (|). هذا مجرد توضيح وليس “الترتيب الوحيد”.
النتيجة
الخطوات (مختصر)
عرض الشرح
أمثلة (الحلول)
عرض الحلول لقيم صغيرة من n و k
تنبيه: عرض الحلول محدود للأداء. للقيم الكبيرة استخدم العدد فقط.
الصيغ والأخطاء الشائعة
- غير سالب (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - وهذا يساوي “التوافيق مع التكرار” (multichoose):
k multichoose n = C(n+k−1, n). - موجب (xi≥1):
C(n−1, k−1)(إذا كانn<kفالنتيجة0) - حدود دنيا (xi≥ai): حوّل إلى
n−ΣaiثمC((n−Σai)+k−1, k−1)
أخطاء شائعة
- الخلط بين “عناصر متطابقة” و “عناصر مميزة”. هذه الحاسبة لعناصر متطابقة (حلول أعداد صحيحة).
- عند xi≥1 تذكّر أن
n<kيعطي0. - للحدود الدنيا تأكد من طرح
Σai(وليس قيمة a واحدة إلا إذا كانت كل ai متساوية).
حاسبات ذات صلة
الأسئلة الشائعة
ما هي طريقة النجوم والأعمدة؟
تعدّ عدد طرق توزيع n عناصر متطابقة على k صناديق، وهو نفسه عدد حلول المعادلة x1+…+xk=n تحت شروط مثل xi≥0.
لماذا تصبح حالة xi≥0 هي C(n+k−1, k−1)؟
ضع n نجمة و k−1 فاصلًا (|) في صف واحد. اختيار مواقع الفواصل يحدد حلًا واحدًا بشكل فريد، فتكون النتيجة C(n+k−1, k−1).
كيف تتغير الصيغة عندما يكون xi≥1؟
لتكن yi=xi−1. عندها y1+…+yk=n−k مع yi≥0، فيكون العدد C(n−1, k−1) عندما n≥k، وإلا فالنتيجة 0.
كيف تعمل الحدود الدنيا xi≥ai؟
لتكن yi=xi−ai. عندها y1+…+yk=n−Σai مع yi≥0. إذا كان n≥Σai فالعدد C((n−Σai)+k−1, k−1)، وإلا فالنتيجة 0.
ماذا لو كانت العناصر مميزة وليست متطابقة؟
تفترض هذه الحاسبة عناصر متطابقة. إذا كانت العناصر مميزة، يتغير النموذج (غالبًا k^n أو معاملات متعددة الحدود)، لذا استخدم حاسبة مختلفة حسب المسألة.