Kalkulator bintang dan batang
Hitung jumlah solusi bilangan bulat x1 + … + xk = n untuk bola/kotak yang identik, dengan opsi untuk xi ≥ 0, xi ≥ 1, dan xi ≥ ai (ini juga kombinasi dengan pengulangan / multichoose).
Cara menggunakan (3 langkah)
- Masuk n (jumlah) dan k (jumlah variabel/kotak).
- Pilih kondisi: xi ≥ 0, xi ≥ 1, atau xi ≥ ai (opsional: dibatasi).
- Salin URL yang dapat dibagikan untuk mereproduksi keadaan yang sama.
Catatan: Halaman ini penting identik bola. Jika bolanya berbeda, maka modelnya pun berbeda.
Panduan visual
Untuk input kecil, ini menunjukkan salah satu contoh pengkodean dengan bintang (*) dan batang (|). Ini hanyalah sebuah ilustrasi, bukan “satu-satunya pengaturan”.
Hasil
Langkah (pendek)
Tunjukkan alasannya
Contoh (solusi)
Tunjukkan solusi untuk n,k kecil
Tip: Daftar solusi dibatasi (kinerja). Untuk input yang besar, gunakan hitungan saja.
Rumus & kesalahan umum
- Non-negatif (xi≥0):
C(n+k−1, k−1) - Ini sama dengan “kombinasi dengan pengulangan” (pilihan ganda):
k multichoose n = C(n+k−1, n). - Positif (xi≥1):
C(n−1, k−1)(jikan<klalu0) - Batas bawah (xi≥ai): ubah menjadi
n−Σai, laluC((n−Σai)+k−1, k−1)
Kesalahan umum
- Mencampur “bola identik” vs “bola berbeda”. Kalkulator ini untuk identik bola (solusi bilangan bulat).
- Untuk xi≥1, ingat
n<kmemberi0. - Untuk batas bawah, pastikan Anda mengurangi
Σai(bukan hanya satu a kecuali semua ai sama).
Kalkulator terkait
Pertanyaan Umum
Apa metode bintang dan batang?
Ini menghitung banyak cara untuk mendistribusikan n item identik ke dalam k kotak, yang merupakan jumlah solusi untuk x1+…+xk=n dalam kondisi seperti xi≥0.
Mengapa kasus non-negatif menjadi C(n+k−1, k−1)?
Tempatkan n bintang dan k−1 batang berturut-turut. Memilih posisi batang secara unik menentukan solusi, menghasilkan C(n+k−1, k−1).
Bagaimana rumusnya berubah ketika xi≥1?
Misalkan yi=xi−1. Maka y1+…+yk=n−k dengan yi≥0, jadi hitungannya adalah C(n−1, k−1) jika n≥k, jika tidak 0.
Bagaimana cara kerja batas bawah xi≥ai?
Misalkan yi=xi−ai. Maka y1+…+yk=n−Σai dengan yi≥0. Jika n≥Σai, hitungannya adalah C((n−Σai)+k−1, k−1); jika tidak 0.
Bagaimana jika bolanya dapat dibedakan?
Kalkulator ini mengasumsikan bola identik. Jika bola dapat dibedakan, modelnya akan berubah (sering kali k^n atau multinomial), jadi gunakan kalkulator yang berbeda tergantung pada masalahnya.